第三章 3.1 3.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( C )
A．0 B．－3
C．－3i D．3
[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.
3．复数z＝1＋(2－sinθ)i在复平面内对应的点所在的象限为( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵1>0,2－sinθ>0，
∴复数对应的点在第一象限．
4．已知复数z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为( A )
A．－8＋6i B．8－6i
C．8＋6i D．－2－2i
[解析] 由题意，得P1(3,4)，P2(－5,2)，∴＝(－8,6)，∴对应的复数为－8＋6i，故选A．
5．复数z与它的模相等的充要条件是( D )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为( B )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[解析] |z|＝＝＝＝2|cos|.
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴2|cos|＝－2cos，故选B．
二、填空题
7．设复数z＝1＋2i，则|z|＝____.
[解析] |z|＝＝.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是__(1,2)__.
[解析] 由已知，得，解得1
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( A )
A．－C．x>－ D．x<－或x>2
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－2．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( C )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴D不正确，∴C正确．
3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( D )
A．1 B．2
C． D．3
[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z－i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.
4．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0.∴复数z对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．
二、填空题
5．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若＝x ＋y (x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.
[解析] 由复数的几何意义可知，
＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.∴x＋y＝5.
6．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为____.
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝.
三、解答题
7．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
8．已知复数z1＝x2－1＋(x2－3x＋2)i，z2＝x＋(3－2x)i，x∈R.
(1)若z1为纯虚数，求实数x的值；
(2)在复平面内，若z1对应的点在第四象限且z2对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．
[解析] (1)∵z1为纯虚数，∴，解得x＝－1.
(2)∵z1对应的点在第四象限，∴，解得：1∵z2对应的点在第一象限，∴，解得：0综上，实数x的取值范围为：19．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i，证明对一切实数m，该复数z所对应的点不可能位于第四象限．
[解析] 证法一：设z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i对应的点Z(m2＋m－6，m2＋m－2)位于第四象限，
则有解得
显然此不等式组无解，因此对一切实数m，
该复数所对应的点不可能位于第四象限．
证法二：假设对应的点在第四象限，则，
∴ ①＋②得－4>0，矛盾．
课件41张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义自主预习学案大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的点．以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了。1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数．实轴 虚轴 原点 2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的________和________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是____________关系．
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是______________，不是(a，bi)．实部 虚部 一一对应 (a，b) (3)复数与复平面内________________的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点____________或向量____表示．以原点为始点 Z(a，b) 距离 距离 1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．B 2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. C 3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．D 4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2A 互动探究学案 在复平面内，若复数z＝(m2＋2m－8)＋(m2－3m＋2)i对应的点分别满足下列要求，试求复数z：
(1)在虚轴上(不包括原点)；(2)在实轴负半轴上；(3)在第一、三象限的角平分线上．
[思路分析] 把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数m的值，即得复数z.命题方向1 ?复数的几何意义典例 1 『规律方法』 1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应
点的横坐标、纵坐标．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，能更好地理解复数的相关知识．
2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．〔跟踪练习1〕 (2019·北京昌平区新学道临川中学月考)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．C 在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．
[思路分析] 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．命题方向2 ?复数与复平面内向量的对应典例 2
〔跟踪练习2〕
(2019·广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i.
(1)求点D对应的复数；
(2)求△ABC的边BC上的高． 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.命题方向3 ?复数模的计算典例 3 『规律方法』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．D 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解] A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．混淆复数的模与实数的绝对值致误 典例 4 利用复数的几何意义解题 已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知复数及其模的范围；
②求复数虚部的取值范围．
解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．典例 5 『规律方法』 解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理．C 2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
[解析] 由题意，得a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2，故选C．C 3．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为
( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．±2或0C 4．已知0(1)对应点在x轴上方？
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上？课时作业学案