第三章 3.2 3.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C )
A．2＋i B．4＋3i
C．2＋3i D．3＋2i
[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i－1＋i＝2＋3i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，
所以z的虚部是4.
3．(2019·全国Ⅰ卷理，2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C．
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( D )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴，∴，
∴a＋bi＝－2－i.
5．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
6．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( D )
A． B．5
C． D．5
[解析] ∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
二、填空题
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝__－1__.
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴，解得a＝－1.
8．在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么对应的复数为__4－4i__.
[解析] ＝－
＝－(＋)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
9．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．复数(3m＋mi)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是( A )
A．m< B．m<1
C．1
[解析] (3m＋mi)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，由题意得，∴m<.
2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( A )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
[解析] 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，
故，解得a＝－3，b＝－4.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( D )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
[解析] 依题意有＝＝－，
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.
故选D．
4．(2019·宁夏罗平中学高二月考)复数z满足|z＋3＋4i|＝2，则|z|的最大值是( C )
A．3 B．5
C．7 D．9
[解析] ∵|z＋3＋4i|＝2，
∴|z－(－3－4i)|＝2，
∴复数z对应的点在以点(－3，－4)为圆心，以2为半径的圆上，
∴|z|max＝＋2＝7.
二、填空题
5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i, 则点C对应的复数是__5－2i__.
[解析] 设AC与BD的交点为E，则E点坐标为(，－1)，设点C坐标为(x，y)，由题意得，则x＝5，y＝－2，故点C对应复数为5－2i.
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，∴.∴.
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
三、解答题
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x、y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1、z2.
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以，解得.
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－A＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
9．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
课件38张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义自主预习学案加法是一种累积，使人从小到大，从弱到强，从单纯走向复杂；减法是一种删节，在经过一定的积累以后，删去多余的枝枝叶叶，以化解心灵的重负；乘法是一种跨越，是实现人生跨越的秘诀；除法是一种卸载，一切不道德的尘埃，必须依靠理性来及时卸载，以剔除心灵的稗种．这就是人生的四则运算。
复数作为数系大家庭的一员，它的四则运算又是怎样的呢？复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1 z2＋z3 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.B 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a、b∈R，i是虚数单位)，则a、b的值分别等于
( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
[解析] (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i，解得a＝3，b＝－2.A C 4．若复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1－z2在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．C 5．若复数z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
[解析] z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴a＋1＝0，∴a＝－1.－1 互动探究学案[思路分析] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．命题方向1 ?复数代数形式的加减运算典例 1 『规律方法』 复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．〔跟踪练习1〕
复数z1＝a2－2－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，求a.命题方向2 ?复数加、减法运算的几何意义典例 2 『规律方法』 1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决．
2．若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理．
例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形． 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[思路分析] 设出z1、z2，将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解．命题方向3 ?复数加减法的综合问题典例 3 『规律方法』 1.设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x、y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i、－4＋5i、2，求点D对应的复数．考虑问题要全面 典例 4 [辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有□ABCD一种情况，应该还有□ABDC和□ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i. 设x∈[0,2π)，复数z1＝cosx＋isin x对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是______________.
[思路分析] 第一步，审题．
一审条件，挖掘题目信息，由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2.
二审结论，明确解题方向，求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．复数的模的取值范围问题 典例 5 第二步，建立联系，确定解题步骤．
由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求x的取值范围，再将|z1＋z2|表示为x的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z1＋z2|的取值范围．
第三步，规范解答．A A 3．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )
A．－2b－2bi B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi D．－2a－2ai
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
4．复数(1－i)－(2＋i)＋(4－i)＋3i＝______.
[解析] (1－i)－(2＋i)＋(4－i)＋3i＝1－i－2－i＋4－i＋3i＝(1－2＋4)＋(－i－i－i＋3i)＝3.A 3 课时作业学案
