第三章 3.2 3.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为( B )
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] z＝＝＝＝1－i.
2．已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝( A )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[解析] －3i(a＋i)＝－3ai＋3，
∴－3a＝3，∴a＝－1.
3．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( D )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[解析] ∵＝3＋i，
∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
∴a＝4，选D．
4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得a<－1.
故选B．
5．(2019·山东滨州市高二期中测试)设(1＋i)z＝2－4i，则|z2|＝( B )
A． B．10
C．5 D．100
[解析] ∵(1＋i)z＝2－4i，
∴z＝＝＝＝＝－1－3i，
∴z2＝(－1－3i)2＝－8＋6i，
∴|z2|＝＝10.
6．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( B )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得，即z＝3±i.
二、填空题
7．计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.
[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
＝1－i2＋1＋4i＋4i2
＝1＋1＋1＋4i－4
＝－1＋4i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
三、解答题
9．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
[解析] (1)(－＋i)(2－i)(3＋i)
＝(－＋i)(7－i)＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
B级 素养提升
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．(2018·浙江，4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( B )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] ＝＝＝1＋i，
∴ 共轭复数为1－i.故选B．
3．若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.
4．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( A )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．
二、填空题
5．(2019·浙江卷，11)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝____.
[解析] z＝＝＝＝－i，
易得|z|＝＝.
6．(2019·江苏卷，2)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__2__.
[解析] (a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为其实部为0，故a＝2.
三、解答题
7．已知复数z1＝(a－4)＋i，z2＝a－ai(a为实数，i为虚数单位)，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求复数z1，z2；
(2)求的共轭复数．
[解析] (1)z1＋z2＝2a－4＋(1－a)i，
∵z1＋z2为纯虚数，∴2a－4＝0，a＝2.
∴z1＝－2＋i，z2＝2－2i.
(2)＝＝＝＝－－i，∴的共轭复数为－＋i.
8．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，
解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
9．已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋(y－)i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋[y－]i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，
所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|
＝
＝
＝∈(1,5)．
课件36张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算自主预习学案
根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加(减 )法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代数标准形式及i2＝－1，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则．1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有z2·z1 z1z2＋z1z3 (ac－bd)＋(ad＋bc)i a＝c且b＝－d a＝c且b＝－d≠0 C 2．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋iD D 4．已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为________.
[解析] z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i.－4 互动探究学案 计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
[思路分析] 应用复数的乘法法则及运算律求解．
[解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i
＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i＝5＋10i－5i＝5＋5i.
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4
＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.命题方向1 ?复数的乘法与乘方典例 1 『规律方法』 1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最后将i2＝－1代入合并“同类项”即可．
2．复数的乘法运算可以推广，因此，复数可进行乘方运算，常见的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即实数的乘方公式对复数也成立．〔跟踪练习1〕
(1)(2018·全国Ⅱ卷文，2)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
(2)(2018·全国Ⅲ卷理，2)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
[解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D．
(2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.故选D．D D [思路分析] (1)先写成分式的形式，再分母实数化．
(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法．
(3)先展开，后化简．命题方向2 ?复数的除法典例 2 『规律方法』 除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简．C D [思路分析] 通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi.命题方向3 ?共轭复数典例 3 C 『规律方法』 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．D 计算要细致准确 典例 4 in(n∈N*)的性质
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.复数的有关性质 计算i＋i2＋i3＋…＋i2018＋i2019.
[思路分析] 先计算i，i2，i3，i4的和，找出规律，再按照规律求解．
[解析] ∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，…
∴i＋i2＋i3＋i4＝0，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2019＝i2017＋i2018＋i2019
＝i－1－i＝－1.典例 5 C D B 课时作业学案
