第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( C )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析] 大前提是错误的，故选C．
2．用三段论进行如下推理：“对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，因为y＝x是对数函数，所以y＝x是增函数．”你认为这个推理( A )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
[解析] 对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，
当0
1时，函数为增函数，
所以上述推理中，大前提是错误的，故选A．
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
4．猜想数列，－，，－，…的通项公式是( D )
A．an＝
B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n＋1
D．an＝(－1)n＋1
[解析] ∵偶数项是负的，奇数项是正的，分母是相邻两个奇数的积，并且首项是，∴选D．
5．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故选C．
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( C )
A．πa2 B．πb2
C．πab D．π(ab)2
[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab.
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D．
8．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( B )
A．今天是周六 B．今天是周四
C．A车周三限行 D．C车周五限行
[解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故选B．
9．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( A )
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
…
A．809 B．853
C．785 D．893
[解析] 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( A )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由函数基本性质知，A是减函数，故选A．
11．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( B )
A．b B．－b
C． D．－
[解析] f(x)定义域为(－1,1)，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( A )
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是__3__.
[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，
所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，
故丁取出的小球编号是3.
故答案为3.
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝____.
[解析] 由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上类比得到的结论正确的是__①②__.
[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
16．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3 13＋23＝9
1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225
… …
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝____.(n∈N*，用含有n的代数式表示)
[解析] 由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2＝.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：≥.
[解析] 分析法：要证≥，
只需证：≥()2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
综合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥.
18．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得
tan(x＋)＝＝＝，
即tan(x＋)＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－.
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
19．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.
∵cosC＝，
∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2， ①
注意到条件：an＋bn＝cn，
于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn. ②
∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，
即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，
从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn
＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，
这说明②式成立，从而①式也成立．
故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．
20．(本题满分12分)求证：在锐角三角形ABC中，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
[解析] 因为在锐角三角形中，A＋B>，
所以A>－B，所以0<－B又因为在(0，)内，正弦函数是单调递增函数，
所以sinA>sin(－B)＝cosB，即sinA>cosB.
同理可证sinB>cosC，sinC>cosA.
把以上三式两端分别相加，得sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
21．(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h＝.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A－BCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S，S1，S2，S3表示 )
[解析] 记该四面体A－BCD的三条侧棱长分别为a，b，c，
不妨设S1＝ab，S2＝bc，S3＝ac，
由SH＝S1c，
得H＝，
于是H＝＝＝，
即H＝.
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.
[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)(ex－1)，
当x＜0或x＞1时，f ′(x)＞0，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，
则g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，则u′(x)＝ex－，
当x≥1时，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，
所以f(x)>x3－x.
课件39张PPT。第二章推理与证明章末整合提升知 识 网 络知识整合1．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．
2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．
3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．专题突破1．合情推理与演绎推理
合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式． 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：题型一 ?归纳推理典例 1 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378C 题型二 ?类比推理典例 2 『规律方法』 在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质． 已知函数f(x)＝－x2＋2x.
(1)证明f(x)在(－∞，1]上是增函数；
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？
[思路分析] (1)证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2且x1于是，根据“三段论”可知，f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
解法二：∵f ′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，x－1<0，∴－2(x－1)>0，
∴f ′(x)>0在x∈(－∞，1)上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)∵f(x)在(－∞，1]上是增函数，而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．『规律方法』 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S的所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断叫大前提，第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．2．直接证明
综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因为综合法宜于表达、条理清晰．在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主． 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
[解析] 因为b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc.
所以a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.题型四 ?综合法证明不等式典例 4 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．题型五 ?分析法证明不等式典例 5 3．用反证法证题
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”． 已知a，b，c都是小于2的正数，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.
[思路分析] 本题为“至少、至多”型问题，反设其结论，容易导出矛盾，故用反证法证明．题型六 ?反证法典例 6 题型七 ?转化与化归思想典例 7 『规律方法』 转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化．[解析] 上述推理过程中，第一步、第三步是错误的，忽视了不等式性质成立的条件．C [解析] ∵5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2，∴V＋F－E＝2.C 3．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙A [解析] 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
故选A．4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一．B 5．若一个命题的结论是“直线l在平面α内”，则用反证法证明这个命题时，第一步作的假设应为( )
A．假设l∥α B．假设l与α相交
C．假设l?α D．假设l⊥α
[解析] “直线l在平面α”的否定是“直线l不在平面α内”，即“l?α”，故选C．C [解析] 该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理得出一般规律，写出结果即可．三、解答题
8．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[证明] 假设a，b，c，d都是非负数．
则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，
即ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立．故a，b，c，d中至少有一个是负数．