第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数＝( A )
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
[解析] ＝＝＝i.
2．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．
故选D．
3．已知i为虚数单位，则＝( B )
A．－i B．＋i
C．＋i D．－i
[解析] ＝＝＝＋i.
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
6．(2019·山师大附中高二期末测试)设复数z满足(1＋i)z＝i2 019，则复数的虚部为( B )
A．－ B．
C．i D．－i
[解析] ∵i4＝1，∴i2 019＝(i4)504·i3＝－i，
∴z＝＝＝－－i，
∴＝－＋i，∴的虚部为，故选B．
7．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数??x＝1，故选A．
8．已知a∈R，复数z＝，若＝z，则a＝( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] 复数z＝＝(a－1)－(a＋1)i，由＝z，可知a＋1＝0，即a＝－1.
9．若z＝cosθ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是( B )
A．0 B．
C．π D．2π
[解析] z2＝cos2 θ－2isin θcosθ－sin2 θ＝cos2θ－i sin 2θ＝－1，
∴，∴θ＝.
10．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] θ∈时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
11．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵A、B为锐角三角形的内角，
∴
∴A>－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，
sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，
∴对应点在第二象限，故选B．
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；
②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；
④z1*z2＝z2*z1；
则真命题的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵ω1*ω2＝ω1.
∴①左边＝(z1＋z2)3，右边＝z1＋z2＝(z1＋z2)，左边＝右边，正确．
②左边＝z1()＝z1(＋)，右边＝z1＋z1＝z1(＋)，左边＝右边，正确．
③左边＝(z1)，右边＝z1(z2)＝z1(z3)，左边≠右边，不正确．
④左边＝z1，右边＝z2，左边≠右边，不正确，选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2018·江苏，2)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为__2__.
[解析] 由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，∴ z的实部为2.
14．(2019·宁夏罗平中学高二月考)若复数z＝(3＋4i)(1－i)(i为虚数单位)，则|z|＝__5__.
[解析] 解法一：z＝(3＋4i)(1－i)＝3－3i＋4i＋4＝7＋i，∴|z|＝＝5.
解法二：∵z＝(3＋4i)(1－i)，
∴|z|＝|(3＋4i)(1－i)|＝|3＋4i|·|1－i|＝5.
15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝__－4i__.
[解析] 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
则，∴.∴z＝－4i.
16．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第__四__象限．
[解析] ∵a、b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴，解得.
∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．(本题满分12分)已知z＝1＋i，a、b∈R.若＝1－i，求a、b的值．
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，所以
＝
＝
＝a＋2－(a＋b)i＝1－i.
所以，所以.
19．(本题满分12分)(2019·山东昌乐一中高二月考)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·的值．
[解析] (1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋(＋)i，∵z1＋z2是纯虚数，
∴，解得m＝1.
(2)由(1)知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，∴＝－1－i，∴z1＝(1＋i)·(－1－i)＝－1－i－i＋＝－－i.
20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)、B(0,2)、C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，
B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝×2×1＝1.
21．(本题满分12分)已知复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ＋i.求：
(1)z1＋z2；
(2)|z1＋z2|的最大值．
[解析] (1)z1＋z2＝(cosθ＋i)＋(sinθ＋i)＝sinθ＋cosθ＋2i＝sin(θ＋)＋2i.
(2)|z1＋z2|2＝22＋[sin(θ＋)]2＝4＋2sin2(θ＋)，
∵sin2(θ＋)的最大值为1，
∴|z1＋z2|2有最大值6.
故θ＝＋kπ，k∈Z时，|z1＋z2|max＝.
22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
[分析] (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
[解析] (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝.
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1.
课件41张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入章末整合提升知 识 网 络知识整合本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．
本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．专题突破熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提．题型一 ?复数的概念 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是：
(1)零；
(2)纯虚数；
(3)z＝2＋5i.典例 1 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.题型二 ?复数的运算典例 2 D 复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．题型三 ?复数及其运算的几何意义 典例 3 D [思路分析] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．题型四 ?复数的模 已知复数z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)．当θ为何值时，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．典例 4 只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不必在复数的模与其轭复数的性质上下功夫．题型五 ?共轭复数典例 5 D 复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的创新思维，又能考查复数与其他知识的综合．题型六 ?与复数有关的创新型问题典例 6 D (1)实数x、y、θ有以下关系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)(其中i是虚数单位)，则x2＋y2的最大值为( )
A．30 B．15
C．25 D．100题型七 ?复数与三角函数交汇问题典例 7 D B C A 3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[解析] (1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A．A 4．若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－2i D．2iB C 4－i 0 三、解答题
8．实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[分析] 把复数整理成a＋bi(a，b∈R)的形式，用复数分类的条件分别求解．