第二章 2.1 2.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )
A．28 B．32
C．33 D．27
[解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9，12…，故x＝20＋12＝32.
2．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( D )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( B )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[解析] 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )
A． B．△
C．? D．○
[解析] 图形涉及○、△、?三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色?符号，即应画上才合适．
6．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[解析] 选项A，“若a·0＝b·0，则a＝b”是错误的，∵0乘任何数都等于0；选项B，“(a·b)c＝ac·bc”是错误的，不符合乘法的运算性质；选项C，“＝＋(c≠0)”是正确的；选项D，“(a＋b)n＝an＋bn”是错误的，如(3＋2)2≠32＋22，故选C．
二、填空题
7．高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在__画画__.
[解析] ∵以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：
打篮球
画画
跳舞
散步
A
×
×
B
×
×
C
×
×
D
×
×
则由表格知A在跳舞，B在打篮球，
篮球
画画
跳舞
散步
A
×
√
×
B
√
×
×
C
×
×
D
×
×
∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
∴C在散步，
则D在画画，
故答案为画画．
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式：__＋＋＋…＋≥__.
[解析] 不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式＋＋＋…＋≥成立．
三、解答题
9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．
(1)求f(4)；
(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．
[解析] (1)如图所示，可得f(4)＝5.
(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，
f(5)＝9＝f(4)＋4，
f(6)＝14＝f(5)＋5.
…
∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，
累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
B级 素养提升
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( B )
A．27 B．28
C．29 D．30
[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，…，故第七个三角形数为21＋7＝28.
2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
二、填空题
3．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝__30__.
[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a＝21，b＝9，故a＋b＝30.
4．(陕西卷文)观察下列等式
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
…
据此规律，第n个等式可为__1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋__.
[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．
三、解答题
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式．
[解析] 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－；∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N*)．
6．已知命题，若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝.现已知等比数列{bn}(b>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m，n∈N*，且m≠n)．类比上述结论，求bm＋n，并说明理由．
[解析] 类比得结论：bm＋n＝.
理由：设等比数列{bn}的公比为q，则bm＋n＝bmqn.
又∵＝＝qm－n＝，
∴q＝().
因此，bm＋n＝bmqn＝a·()＝()＝.
7．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系．
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC.
证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，
∵AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AE，AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥DE，AO⊥BC.
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AED，
∴BC⊥AE，BC⊥DE.
∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE，
S△BCD＝BC·DE.
在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD.
课件59张PPT。第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题．
四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理自主预习学案人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．1．归纳推理
由某类事物的____________具有某些特征，推出该类事物的____________都具有这些特征的推理，或者由____________概括出____________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由________到________、由________到________的推理．
2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为____________.部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理 3．类比推理
由两类对象具有________________和其中一类对象的________________，推出另一类对象也具有____________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______________的推理．
4．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据__________________________，经过___________________________，再进行________、________，然后提出________的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．某些类似特征 某些已知特征 这些特征 特殊到特殊 已有的事实 观察、分析、比较、联想 归纳 类比 猜想 5．归纳推理是由部分到________，由具体到________，由特殊到________，从个别事实中概括出____________的思维模式．
类比推理是在____________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在______________之处的一种推理模式．
类比推理是由________到________的推理．整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似 特殊 特殊 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B 2．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①④ B．①③
C．②③ D．②④
[解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；
类比推理是由特殊到特殊的推理．故④对③错，
则正确的是①④，故选A．A C 5．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．
[解析] 首先分析题目的条件，并对n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．
f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．
当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．互动探究学案命题方向1 ?数与式的归纳典例 1 [思路分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．『规律方法』 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论．2．归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，
…
Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.3．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论． 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖____________块(用含n的代数式表示)．
[思路分析] 分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．命题方向2 ?图形中的归纳推理典例 2 4n＋8
[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.『规律方法』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
〔跟踪练习2〕
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26
B．31
C．32
D．36B 命题方向3 ?数列中的归纳推理典例 3
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4,9－5＝4，
13－9＝4,17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.『规律方法』 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．〔跟踪练习3〕
若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．命题方向4 ?将命题的条件、结论类比推广典例 3 『规律方法』 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．典例 5 [辨析] 等差数列的运算相似特性是和的形式，等比数列的运算相似特性是积的形式．1．围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势．其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质．在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力．
2．解答此类问题时，首先要借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理．新定义、新运算中的类比问题
3．类比推理的一般形式：
对象A：具有属性a1，a2，…，an，m.
对象B：具有属性a′1，a′2，…，a′n，m′.
(a1与a′1，a2与a′2，…，an与a′n相同或相似)
对象B具有属性m′(m′与m相同或相似)．典例 6 (a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等 『规律方法』 由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．[解析] A项用的椭圆的定义进行推理，不符合要求；B项属于归纳推理；符合要求；C项用的是类比推理，不符合要求，故选B．B B 3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各面都是全等的正三角形，任意相邻的两个面所成的二面角都相等；
③各面都是全等的正三角形．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
[解析] 由平面几何与立体几何的类比特点可知，三条性质都是恰当的．C 4．观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为____________________________________________.
[解析] 由已知四个式子可分析规律(n＋2)2－n2＝4n＋4. (n＋2)2－n2＝4n＋4(n∈N*) 课时作业学案
