第二章 2.1 2.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( C )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
[解析] 函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．
2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( D )
A．① B．②
C．①② D．③
[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( A )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
[解析] 大前提为所有金属都能导电，小前提铁是金属，结论为铁能导电，故选A．
4．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在( A )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．以上都不是
[解析] ∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．
5．(2019·广东东莞石竹附中高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：
①函数f(x)＝lgx是对数函数；②对数函数y＝logax(a>1)是增函数；③函数f(x)＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( C )
A．①→②→③ B．③→②→①
C．②→①→③ D．②→③→①
[解析] 由题意可知，大前提是“对数函数y＝logax(a>1)是增函数”，小前提是“函数f(x)＝lgx是对数函数”，结论是“函数f(x)＝lgx是增函数”，故选C．
6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( C )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
二、填空题
7．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__②__.(填写序号)
[解析] 推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中
大前提：矩形是平行四边形；
小前提：正方形是矩形；
结论：所以正方形是平行四边形．
故小前提是：②正方形是矩形．
故答案为②.
8．已知sinα＝，cosα＝，其中α是第二象限角，则m＝__8__.
[解析] ∵sin2α＋cos2α＝1，
sinα＝，cosα＝，
∴()2＋()2＝1，
整理得m2－8m＝0.
∴m＝0或m＝8.
又∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cosα<0.
∴m＝8.
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，
则这两个三角形全等． (大前提)
如果△ABC和△CDA的三边对应相等． (小前提)
则这两个三角形全等． (结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.
②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等． (大前提)
如果△ABC和△CDA全等， (小前提)
则它们的对应角相等， (结论)
符号表示：
△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.
③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)
直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]
则AB∥DC，BC∥AD.[结论(同理)]
④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形． (大前提)
四边形ABCD中，两组对边分别平行， (小前提)
四边形ABCD为平行四边形． (结论)
符号表示：AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( A )
A．省略了大前提 B．省略了小前提
C．是完整的三段论 D．推理形式错误
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( B )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．
二、填空题
4．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A城市__.
[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
5．以下推理中，错误的序号为__①__.
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
三、解答题
6．用三段论证明：已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝，n＝1,2,3…，证明{bn}为等比数列．
[解析] 因为lga1，lga2，lga4成等差数列，
所以2lga2＝lga1＋lga4，即a＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，这样d2＝a1·d，从而d(d－a1)＝0.
而d＝0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d，
bn＝＝·.
这时{bn}是首项为b1＝，公比为的等比数列．
综上知{bn}为等比数列．
7．用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC中，AD，BE是高线，D、E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD.
[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形， (大前提)
在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°， (小前提)
∴△ABD为直角三角形． (结论)
同理△ABE也为直角三角形．
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， (大前提)
M是直角三角形ABD斜边AB上的中点，DM为中线， (小前提)
∴DM＝AB(结论)，同理EM＝AB.
∵和同一条线段相等的两条线段相等， (大前提)
又∵DM＝AB，EM＝AB (小前提)
∴ME＝MD (结论)．
8．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[解析] (1)因为f(x)是R上的偶函数，
所以对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋＝＋aex，
整理得(－a)(ex－)＝0对一切x∈R恒成立．
因ex－不恒为0，故－a＝0，所以a＝±1.
又a>0，所以a＝1.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝ex1＋－ex2－＝(ex2－ex1)·(－1)
＝ex1(ex2－x1－1)·.
因为x1>0，x2>0且x1所以x2－x1>0，x1＋x2>0，
所以ex2－x1>1,1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)课件42张PPT。第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理自主预习学案从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．1．演绎推理
从________________出发，推出____________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由______________的推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的____________；
(2)小前提——所研究的____________；一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 一般原理 特殊情况 (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________.
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：__________.
利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么______________________________.
3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__________正确．判断 S是P S中所有元素也都具有性质P 结论 不一定 1．演绎推理是( )
A．部分到整体，个别到一般的推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般的推理
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理．C 2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确 D．大前提错
[解析] 9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．C B
[解析] 求证：“a大前提：因为在三角形中，大角对大边，
小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A<∠B，
结论：所以a故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．m“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”
[解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究学案命题方向1 ?把演绎推理写成三段论形式典例 1 『规律方法』 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；
(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确． 已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC.
求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)
[解析] ∵等腰三角形两底角相等， 大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提
∴∠1＝∠2. 结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角， 小前提
∴∠1＝∠3. 结论命题方向2 ?三段论在证明几何问题中的应用典例 2 ∵等于同一个角的两个角相等， 大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1， 小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD. 结论『规律方法』 应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．〔跟踪练习2〕
用三段论分析下题的证明过程．
如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
证明过程如下：
∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，
又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，
∴ED＝AF.命题方向3 ?演绎推理在代数问题中的应用典例 3 『规律方法』 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范． 如图，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
[错因分析] 在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．三段论推理中大(小)前提错误致误 典例 4
[点评] 演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．演绎推理的综合应用 已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．典例 5 (2)设任意的x1，x2∈R且x1f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，
所以f(x)为R上的减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.『规律方法』 函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是
( )
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无限不循环小数都是无理数
D．有理数都是有限循环小数
[解析] 用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，
∵由无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，
∴π是无理数，∴大前提是无理数都是无限不循环小数，故选C．C 2．下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a?平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中( )
A．大前提正确，结论错误
B．小前提与结论都是错误的
C．大、小前提正确，只有结论错误
D．大前提错误，结论错误
[解析] 直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．
故大前提错误，结论错误．
故选D．D 3．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为
( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
[解析] 用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的四个内角相等
小前提 ③正方形是矩形
结论 ①正方形的四个内角相等
故选D．D 4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．课时作业学案
