第三章 3.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．对于非零复数a，b，以下有四个命题
①a＋≠0.
②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
③若|a|＝|b|，则a＝±b.
④若a2＝ab，则a＝b.则一定为真的有( A )
A．②④ B．①③
C．①② D．③④
[解析] 对于①，取a＝－i，则a＋＝0，①不正确；
对于②，对于任意复数a，b，一定有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，②正确；
对于③，取a＝1，b＝i，|a|＝|b|，但a≠±b，③错误；
对于④，由a2＝ab及a≠0，得a＝b，命题④正确．
∴正确的命题是②④，故选A．
3．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( C )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
[解析] ∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.
4．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝( D )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[解析] 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．
5．(2019·遂宁模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( B )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
[解析] ∵z＝a＋i，
∴z＋＝2a＝4，得a＝2.
∴复数z的共轭复数＝2－i.
故选B．
6．(2019·长安一中质检)设z＝＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( C )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
7．(2019·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)，则|z|＝.
[解析] ∵复数z满足z·(1＋i)＝1，
∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，
化为4z＝1－i，
即z＝－i，
∴|z|＝＝.
故答案为.
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝.
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
三、解答题
9．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.
B级 素养提升
一、选择题
1．若z＝4＋3i，则＝( D )
A．1 B．－1
C．＋i D．－i
[解析] |z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i.
2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C )
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．?
[解析] A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i,1}．∴A∩B＝{－1,1}．故选C．
二、填空题
3．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是－2.
[解析] (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.
4．(2019·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝1.
[解析] 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.
三、解答题
5．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是[－，]．
(2)ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈[－，]，b≠0.所以ω为纯虚数．
6．已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z.
(2)求|z－4|的取值范围．
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋(y－)i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋[y－]i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，
所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|
＝
＝
＝∈(1,5)．
课件38张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算自主预习学案在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1z2＋z1z3 a＝c且b＝－d a＝c且b＝－d≠0 B A 3．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝( )
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2iA互动探究学案 (1)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3
(2)设复数z(2－3i)＝6＋4i(其中i是虚数单位)，则z的模为________.
[思路分析] (1)利用乘法法则运算；
(2)先求复数z，然后利用模长公式求解．命题方向1 ?复数代数形式的乘除法运算A典例 1 2『规律总结』 1.复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.D A 计算i＋i2＋i3＋…＋i2018＋i2019.
[思路分析] 先计算i，i2，i3，i4的和，找出规律，再按照规律求解．
[解析] ∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，……
∴i＋i2＋i3＋i4＝0，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2019＝i2017＋i2018＋i2019＝i－1－i＝－1.命题方向2 ?虚数单位的幂的周期性典例 2 『规律总结』 1.虚数单位i的周期性．
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．〔跟踪练习2〕
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2017i2016命题方向3 ?共轭复数及其应用典例 3
B 在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x＋yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决．复数的综合应用典例 4 『规律总结』 解与复数有关的方程的根问题时，一般方法是将方程的根设出，代入方程，然后利用复数相等的充要条件求解.－3＋4i 共轭复数典例 5 [辨析] 在解题中错把i2当成1，因此对虚数单位的定义要掌握好．A D C C C 课时作业学案
