第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2019·运城期中)下列表述正确的是( D )
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④
C．①②④ D．①②
[解析] 根据题意，依次分析4个命题：
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；
对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；
对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；
对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；
则正确的是①②.
故选D．
2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
[解析] 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
故选A．
3．设f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( C )
A．0 B．1
C． D．5
[解析] ∵f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
∴令x＝－1，则有f(1)＝f(－1)＋f(2)，
∴f(2)＝2f(1)．
又∵f(1)＝，∴f(2)＝1，
∴f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＋f(2)
＝2f(2)＋f(1)
＝2＋＝.
4．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( B )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a、b大小不定
[解析] a＝－＝，
b＝－＝，
因为>>0，>>0，
所以＋>＋>0，所以a
5．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( D )
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[解析] 命题的结论是“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{xn}既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.”故应选D．
6．如果p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．已知p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( B )
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对大于或等于2的正整数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
[解析] ∵p(n)对n＝2成立，2为偶函数，∴根据题意知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B．
7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：
根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是( A )
[解析] 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A．
8．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D．
9．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( C )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
[解析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为；
由n＝k时，末项为到n＝k＋1时末项为＝，∴应增加的项数为2k.
故选C．
10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )
[解析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A．
11．已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，则( D )
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
[解析] 根据题意，logab>1?logab－logaa>0?loga>0?或，
即或.
当时，0∴b－1<0，b－a<0；
当时，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.
∴(b－1)(b－a)>0，故选D．
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于( D )
A．f(n－1)＋1 B．f(n－2)＋2
C．f(n－2)＋1 D．f(n－1)＋f(n－2)
[解析] 到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2019·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3.
[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，
所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，
故丁取出的小球编号是3.
故答案为3.
14．在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.
[解析] 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”
15．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是F＋V－E＝2.
[解析] 本题考查归纳推理．
5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴F＋V－E＝2.
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5.
[解析] 根据题意，列出检验方程组，
显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x5，验证一下把x5换成0，上式检验方程组都成立，所以x5出错了，即k＝5.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知n≥0，试用分析法证明：－<－.
[解析] 要证－<－成立，
需证明＋<2.
只需证明(＋)2<(2)2，
只需证明n＋1>，
只需证明(n＋1)2>n2＋2n，
只需证明n2＋2n＋1>n2＋2n，
只需证明1>0.
因为1>0显然成立，所以原命题成立．
18．(本题满分12分)已知函数f(x)满足下列条件：
(1)f()＝1，(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)，(3)f(x)的值域为[－1,1]．试证明：不在f(x)的定义域内．
[证明] 假设在f(x)的定义域内，因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f()＝f(×)＝f()＋f()＝2.
又f(x)的值域为[－1,1]，2?[－1,1]，
所以不在函数f(x)的定义域内．
19．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得
tan(x＋)＝＝＝，
即tan(x＋)＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－.
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.
∵cosC＝，
∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2， ①
注意到条件：an＋bn＝cn，
于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn. ②
∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，
即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，
从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn
＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，
这说明②式成立，从而①式也成立．
故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．
21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－为定值．那么对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则有命题：AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，猜想kOM·kAB的值，并证明．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有
kOM＝＝，kAB＝，
即kOM·kAB＝＝.
将A、B坐标代入双曲线方程－＝1中可得：
－＝1 ①
－＝1 ②
①－②得：＝，
∴＝，即kOM·kAB＝.
22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N* .猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
[解析] 由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝
＝＝
>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2，
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．
课件49张PPT。第二章推理与证明章末整合提升知 识 网 络推理与
证明 专题突破 1.合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．演绎推理
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．
3．近几年高考对推理的考查：
(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；
(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；
(3)题目难度不大，多以中低档题为主．专题一 ?合情推理与演绎推理 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：典例 1 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1024
C．1225 D．1378C『规律方法』 解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式． 在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是____________________.典例 2 『规律方法』 类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积．综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因此在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．专题二 ?直接证明典例 3 反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．专题三 ?用反证法证题 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式．
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．典例 4 『规律方法』 用反证法证明问题时要注意以下三点
(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，都不是反证法．
(2)反证法必须从否定结论进行推证，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．数学归纳法是一种证明方法，可以证明与正整数有关的命题，如恒等式、不等式、几何问题以及整除问题等．高考数学归纳法的考查，一般以数列为背景，涉及等式、不等式等问题，归纳—猜想—证明是解决此问题的通法．专题四 ?用数学归纳法解题 已知点的序列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…
(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；
(2)设an＝xn＋1－xn.计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．典例 5 『规律方法』 由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak＋1或Sk与Sk＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．专题五 ?转化与化归思想 典例 6 『规律方法』 (1)归纳推理是从特殊到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．
(2)归纳推理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论． 分类讨论思想在本章的证明问题中，无论是直接法还是间接法，都有所体现．如用反证法证明命题时，若结论的反面情况不唯一时，则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定，才能使问题得以证明．专题六 ?分类讨论思想 已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证：以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路分析] 分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行讨论．典例 7 根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，
从而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC<270°.
这与一个周角等于360°矛盾．
②如图(2)所示，点D在△ABC外．
根据假设，在△ABD中，∠BAD<90°，
在△ABC中，∠ABC<90°，
在△BCD中，∠BCD<90°，
在△ADC中，∠ADC<90°，
从而有∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB<360°.
这与四边形ABCD的内角和为360°矛盾．
综合①②可知，假设不成立，故原结论成立．『规律方法』 利用反证法证明时，若否定结论后出现多种情况，则需要分类讨论，记得最后下结论时，说明上述情况均矛盾，故假设不成立，原结论成立．一、选择题
1．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )
A．两条平行直线 B．两条相交直线
C．一点与一直线 D．同一条直线
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为同一条直线．故应选D．DA C 二、填空题
4．根据下面一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________.n4 ＞