第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)＝( D )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[解析] ＝＝
＝2－i.
故选D．
2．已知i是虚数单位，则＝( D )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
[解析] ＝＝＝1＋2i.
3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( A )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
[解析] 因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.
4．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解之得a＝0.
5．如果复数z＝，则( C )
A．|z|＝2
B．z的实部为1
C．z的虚部为－1
D．z的共轭复数为1＋i
[解析] 因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．
6．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．
7．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数；
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆；
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0；
④x轴是复平面的实数，y轴是虚轴．
其中正确的有( D )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故选D．
8．复数z1＝()2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是( D )
A． B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
[解析] ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，
∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D．
9．(2019·全国Ⅰ卷理，2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C．
10．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] θ∈时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
11．(2019·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵A、B为锐角三角形的内角，
∴
∴A>－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，
sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，
∴对应点在第二象限，故选B．
12．若复数z1z2≠0，则z1z2＝|z1z2|是z2＝成立的( D )
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
[解析] z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，此时当z2＝1时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，故z1z2＝|z1|2，|z1z2|＝|z2|2, 能得出z1z2＝|z1z2|成立；反之，若z1z2＝|z1z2|成立，则z1z2是正实数，故不一定得出z2＝1.
故可得出z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的必要不充分条件，故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知z、ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝±(7－i).
[解析] 解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i.
由题意，得a＝3b≠0.
∵|ω|＝＝5，∴|z|＝＝5.
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±5.
故ω＝±＝±(7－i)．
解法2：由题意，设(1＋3i)z＝ki，k≠0，且k∈R，则ω＝.
∵|ω|＝5.∴k＝±50.故ω＝±(7－i)．
14．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是①②③.
[解析] ①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④若z＝bi(b≠0)为纯虚数，则z2＝－b2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．
15．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1.
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.
16．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是cos(α＋β).
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
18．(本题满分12分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R.(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
[解析] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0，
解得m＝0或m＝－1±.
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
19．(本题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
[解析] ∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2.
又a>0，故a＝2.
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝.
20．(本题满分12分)已知复数z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．
[解析] ∵z＝＝
＝1－i，
∴|z|＝.又＝≤，∴|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.即a的取值范围为[1－，1＋]．
21．(本题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
[解析] 依题意得z1＋z2为实数，
因为z1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
所以所以a＝3.
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝(，－1)，＝(－1,1)．
所以·＝×(－1)＋(－1)×1＝－.
22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，
故b＝3的概率为.
即事件“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
课件40张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入章末整合提升知 识 网 络复数 复数 复数 专题突破1.复数实部与虚部的区分
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部，一定要注意bi不是虚部．如2＋3i的实部为2，虚部为3，而不是3i.
2．纯虚数的理解
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数，一定要注意记清“a＝0”是必要条件，而不是充要条件．专题一 ?利用复数的基本概念解题 已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.典例 1 『规律方法』 先设出z的代数形式z＝bi(b∈R，b≠0)，然后依据概念处理．专题二 ?利用复数相等的条件解题 典例 2 B 典例 3 『规律方法』 复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．专题三 ?复数代数形式的四则运算典例 4 D 典例 5 0 复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的加减运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
(1)复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
(2)复数形式的基本轨迹
①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；
③|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|Z1Z2|>0)表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆．专题四 ?复数的几何意义及应用 (2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)B典例 6 典例 7 『规律方法』 将复数与复平面内的向量建立联系后，与复平面上点的对应就非常容易了．典例 8 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位．该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的讨论等．专题五 ?分类讨论思想 实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[思路分析] 把复数整理成a＋bi(a，b∈R)的形式，用复数分类的条件分别求解．典例 9 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、点的轨迹及模的最值问题等．专题六 ?数形结合思想 已知|z|＝1.
(1)求|z－(2＋2i)|的最值；
(2)求|z－i|·|z＋1|的最大值．典例 10 『规律方法』 掌握常见的复平面上的点的轨迹方程的复数表示方式，灵活运用模的几何意义及复数运算的几何意义，通过数形结合，充分利用图形的直观、形象的特点，可简化对问题的处理．B C 3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，
∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C．CB 二、填空题
5．(2019·莆田二模)已知复数z＝m＋(m2－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为________.(0,1) 6．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为________.4 三、解答题
7．已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R.当x在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．