第一章 1.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] 平均变化率为＝－1.
2．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为4，则a＝( C )
A．－4 B．2
C．4 D．－2
[解析] 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝4.故选C．
3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( D )
A．4 B．4x
C．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx
[解析] ＝＝4＋2Δx.
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为( B )
A．>> B．>>
C．>> D．>>
[解析] ＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由图象知kOA二、填空题
5．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝(Δx)2＋6Δx＋12.
[解析] ＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
6．(2019·阿拉善左旗校级期末)若函数y＝x2－1的图象上的点A(1,0)，则当Δx＝0.1时的平均变化率是2.1.
[解析] Δy＝(1＋Δx)2－1－(12－1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝2＋Δx，
当Δx＝0.1时，平均变化率为2.1.
三、解答题
7．已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系s＝2t2＋2t，求：
(1)该质点在前3s内的平均速度；
(2)该质点在2s到3s内的平均速度．
[解析] (1)∵Δs＝s(3)－s(0)＝24，Δt＝3，
∴＝＝8(m/s)．
(2)∵Δs＝s(3)－s(2)＝12，Δt＝1，
∴＝＝12(m/s)．
B级 素养提升
一、选择题
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( B )
A．④ B．③
C．② D．①
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝( B )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2·(Δx)2＋4·Δx，所以＝2Δx＋4.
二、填空题
3．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是11.93米/秒．(最后结果精确到0.01)
[解析] Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93米/秒．
4．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度小于乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)
[解析] 由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
所以<，
即甲<乙．
三、解答题
5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
[解析] (1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.
6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．
课件37张PPT。第一章导数及其应用为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？……于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数学史上的里程碑．当你看到“导数”“积分”这两个名词时，你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸．本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题．
学习本章，要深刻领会以直代曲，无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，体会构造在研究数学中的作用.1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题自主预习学案
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52米/秒．
通过这个事例我们可以看出，世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，有的变化比较明显，而有些变化却让人们发出感叹和惊呼．这就是人们经常关心的变化快慢——变化率问题．小 1．(2019·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[解析] 由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数，不可以是0.故选D．D2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．D3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02C互动探究学案命题方向1 ?求函数的平均变化率典例 1
命题方向2 ?平均变化率的应用典例 2 『规律总结』 比较函数平均变化率的大小，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.平均变化率的几何意义 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．典例 3 『规律总结』 解决本题的步骤是：首先求出函数值的变化量Δy，然后求出自变量的变化量Δx，最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系，利用方程思想求解Δx的值.〔跟踪练习3〕
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大不能正确识图致误 典例 4 [错解] 选C．因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
[辨析] 从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值．
[正解] B 由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B．
[点评] 识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．C C 3．(2019·蚌埠高二检测)已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.3课时作业学案
