第一章 1.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( A )
A．at0 B．－at0
C．at0 D．2at0
[解析] ∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0.
2．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f ′(0)＝( B )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B．
3．已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( D )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
[解析] f ′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
4．已知奇函数f(x)满足f ′(－1)＝1，则 等于( A )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] 由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，
所以 ＝
＝f ′(－1)＝1.
二、填空题
5．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20＋5Δt，落体在t＝2时的瞬时速度为20.
[解析] 由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20.
6．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f ′(－1)＝3，则a＝1.
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.
∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.
当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.
∴f ′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.
三、解答题
7．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系．
[解析] 设f(－x)＝g(x)，则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是
g′(a)＝
＝
而f′(－a)＝ ，令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
∴f′(－a)＝
＝－
＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
B级 素养提升
一、选择题
1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( C )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
2．(2019·思明区校级月考)若f ′(x0)＝4，则 ＝( D )
A．2 B．4
C． D．8
[解析]
＝2 ＝2f ′(x0)＝8，
故选D．
二、填空题
3．已知y＝，则y′|x＝1＝.
[解析] 由题意知Δy＝－
＝－，
∴＝.
∴y′|x＝1＝
＝
＝.
4．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是相等.
[解析] v0＝ ＝
＝ ＝ ＝v.
三、解答题
5．(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋x2，且f ′(x0)＝4，求x0的值．
(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf ′(0)，求f ′(0)的值．
[解析] (1)f ′(x0)＝
＝
＝
＝ (－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0
＝4，
∴x0＝3.
(2)f ′(0)＝ ＝
＝
＝[Δx＋2f ′(0)]＝2f ′(0)，
∴f ′(0)＝0.
课件35张PPT。第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.2 导数的概念自主预习学案
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？常数 常数 1．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( )
A．3m/s B．2m/s
C．1m/s D．0m/sD2．设f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1CC 4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数 f′(1)＝________.0互动探究学案命题方向1 ?瞬时速度典例 1 『规律总结』 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．〔跟踪练习1〕
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3
C．－1 D．0B命题方向2 ?利用定义求函数在某点处的导数典例 2
导数的应用 典例 3 『规律总结』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．
由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．[思路分析] 解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．不能准确理解导数的概念致误 典例 5 [辨析] 错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系．
当函数增量Δy＝f(x0)－f(x0－k)时，自变量的增量Δx＝x0－(x0－k)＝k，而不是－k.1．(2019·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0A2．(2019·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
[解析] 该质点在t＝1时的瞬时速度为－6，
故选D．DA 4．(2019·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度．课时作业学案
