第一章 1.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·海市校级期末)已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)的值等于( C )
A．1 B．
C．3 D．0
[解析] 由已知点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)＝＋2＝，
切点处的导数为切线斜率，所以f ′(1)＝，
即f(1)＋f ′(1)＝3，故选C．
2．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( D )
A． B．
C． D．
[解析] Δy＝－＝－1＝，
＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[解析] ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，
∴在点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( C )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
[解析] f ′(x)＝
＝ ＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f ′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线的方程为( C )
A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2
C．y＝2x－1 D．y＝2x＋1
[解析] 设切点坐标为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0.
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以2x0×(－)＝－1，解得x0＝1，所以y0＝x＝1，k＝2x0＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故选C．
6．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B．
二、填空题
7．曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54.
[解析] 因为f′(3)＝ ＝27，
所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为[－1，－].
[解析] y′＝
＝ (2x＋2＋Δx)
＝2x＋2，
且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q(－1，)．
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析] 将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
所以y＝.
y′＝ ＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
10．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
[解析] ∵f ′(x)＝
＝ ＝2ax，
∴f ′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝ ＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·开封高二检测)已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( B )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
[解析] 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．(2019·汉中高二检测)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( B )
A．1 B．
C． D．－
[解析] ∵y′＝
＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B．
二、填空题
3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝－2.
[解析] 由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
4．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为(，－).
[解析] 设P(x0，y0)，则 Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx
∴＝＝2x＋Δx－3，
∴ ＝ (2x＋Δx－3)＝2x－3
∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝，代入曲线方程得y0＝－，
∴P(，－)．
三、解答题
5．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
6．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
[解析] 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f ′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
∴k＝f ′(x0)＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，解得a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
课件48张PPT。第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义自主预习学案
我国著名数学家华罗庚教授对数与形做过这样的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．
我们已经知道导数的物理意义为某一时刻的瞬时速度，那么函数图象在某点附近的变化情况又如何呢？它具有怎样的几何意义？切线 切线的斜率 瞬时速度 1．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2xBB 3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)<0 B．f′(x0)>0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f′(x0)＝3.故选B．BB 互动探究学案命题方向1 ?求切线方程典例 1 『规律总结』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(3)利用点Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．B 命题方向2 ?求切点的坐标(－1，－1) 典例 2 『规律总结』 切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等．〔跟踪练习2〕
已知抛物线f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标． 若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．
[思路分析] 抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标．命题方向3 ?最值问题典例 3 『规律总结』 求最值问题的基本思路：
(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值．
(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值.导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题．导数几何意义的综合应用典例 4 『规律总结』 1.导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．B 求切线方程时忽视点是否在曲线上致误 典例 5 C C 3．(2019·临沂高二检测)曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则此切线的方程为( )
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26D4．(2019·威海高二检测)已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．课时作业学案
