第一章 1.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有2条．
2．已知f(x)＝xα，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( A )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[解析] 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f ′(x)＝2x，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2，适合条件，故选A．
3．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x( D )
A．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快
B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢
C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D．以上都不对
[解析] 函数的导数表示函数的增长速度，
由于f ′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时，f(x)增长速度比g(x)增长速度快，
若2x<2即x<1时，f(x)比g(x)增长速度慢，
在x＝1时两者增长速度相同．
故选D．
4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)(注：(lnx)′＝)的一条切线，则实数b的值为( C )
A．2 B．ln2＋1
C．ln2－1 D．ln2
[解析] ∵y＝lnx的导数y′＝，令＝，得x＝2，
∴切点为(2，ln2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.
5．(2019·武汉期末)若f(x)＝x5，f ′(x0)＝20，则x0的值为( B )
A． B．±
C．－2 D．±2
[解析] 函数的导数f ′(x)＝5x4，
∵f ′(x0)＝20，
∴5x＝20，得x＝4，
则x0＝±，
故选B．
6．(2019·长春高二检测)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
A．1 B．－
C． D．
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，
∵0≤α<π，∴α＝.
二、填空题
7．(2019·全国Ⅰ卷理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex(注：(ex)′＝ex，[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x))在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
[解析] y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
8．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝1.
[解析] 因为f ′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－，因为x>0，所以x＝1.
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．
[解析] 设被扰动水面的面积为S，时间为t，
依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．
10．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a的值为多少？
[解析] ∵y＝x，∴y′＝－x，
∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a，
∴切线方程为y－a＝－a (x－a)
令x＝0得y＝a，
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×a＝a＝18，
∴a＝64.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为( A )
A．(1，－4) B．(2,4)
C．(1,4) D．(－2,4)
[解析] y′＝x，kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8，
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，
即y＝－2x－2，联立方程组得.
∴A的坐标为(1，－4)．
2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] ∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1，
∴ f ′(0)＝1，
∴ 曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D．
二、填空题
3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.
[解析] ∵ y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴ 当x＝0时，y′＝a＋1，
∴ a＋1＝－2，得a＝－3.
4．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是21.
[解析] ∵y′＝2x，∴在点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答题
5．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解析] 解法1：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离d＝＝.
解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，
由得x2－x－m＝0.
∵直线l与抛物线y＝x2相切，
∴判别式Δ＝1＋4m＝0，
∴m＝－，
∴直线l的方程为x－y－＝0，
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝＝.
解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|
＝(x－)2＋.
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
6．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1[解析] 如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．
∵y′＝()′＝，
∴f′(m)＝，A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，
∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝.
课件37张PPT。第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数自主预习学案
世界上哪里有数，哪里就有美．数学像音乐及其他艺术一样能唤起人们的审美感觉和审美情趣．在数学家的创造活动中，同样有情感、意志、信念等审美因素，数学家创造的概率、公理、定理、公式、法则如同诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影等艺术形式一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受．接下来就让我们从函数的求导公式中获得美吧！
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本初等函数的导数呢？0 几个常用函数的导数1 2x －x－2 αxα－1 D C 3．(2019·德阳模拟)已知函数f(x)在R上存在导数f ′(x)，下列关于f(x)，f ′(x)的描述正确的是( )
A．若f(x)为奇函数，则f ′(x)必为奇函数
B．若f(x)为周期函数，则f ′(x)必为周期函数
C．若f(x)不为周期函数，则f ′(x)必不为周期函数
D．若f(x)为偶函数，则f ′(x)必为偶函数
[解析] 对于A：例如：f(x)＝x3为奇函数，则f ′(x)＝3x2，为偶函数，故A错误，
对于B：由导数的几何意义可知，若f(x)为周期函数，则f ′(x)必为周期函数，故B正确，
对于C：例如：f(x)＝x不是周期函数，但f ′(x)＝1为周期函数，故C错误，
对于D：例如：f(x)＝x2为偶函数，则f ′(x)＝2x为奇函数，故D错误，
故选B．B互动探究学案命题方向1 ?利用导数公式求函数的导数典例 1 『规律总结』 求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变化形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.命题方向2 ?利用常用函数的导数求切线方程典例 2 『规律总结』 常用函数求导数可依据结论直接写出结果， 不必再按定义求解．〔跟踪练习2〕
已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线的切线方程为_________________.4x－4y－1＝0 导数的应用典例 3 『规律总结』 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程，而切线斜率易由导数求出. 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f′(2)＝12，∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[辨析] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．不能正确理解切点的实质而致误典例 4 [点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注．B C C 4．(2019·沈阳高二检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数(注：h′(x)＝f(x)＋xf′(x)．)，求h′(1)的值．[解析] 由题图可知曲线的切线l经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，
即f ′(1)＝－1，且f(1)＝2，
因为h(x)＝xf(x)，所以h′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f ′(1)＝2－1＝1.课时作业学案
