第一章 1.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是( A )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
[解析] ∵y＝ln(x＋2)，∴y′＝，
∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝1，
∴切线方程为y－0＝1×(x＋1)，即y＝x＋1.
3．(2019·邵阳三模)已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x；
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f ′(－2)＝.
故选D．
4．(2019·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f ′(α)＝3f(α)，则tan2α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] f ′(x)＝cosx＋sinx；
∴f ′(α)＝cosα＋sinα；
又f ′(α)＝3f(α)；
∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；
∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；
∴tan2α＝＝－.
故选A．
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝，故选A．
6．(2019·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数 f′(x)的图象大致形状是( B )
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B．
二、填空题
7．(2019·黄山一模)已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝1.
[解析] 根据题意，f(x)＝x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1.
故答案为1.
8．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则 f ′(1)的值为e.
[解析] ∵ f(x)＝exln x，
∴ f ′(x)＝exln x＋，
∴ f ′(1)＝e.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋ .
[解析] (1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x，
∴y′＝－x－x＝－.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，
∴y′＝－sinx.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
[解析] 由于(－1，f(－1))在切线上，
∴－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2.∵f ′(x)＝，
∴
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
故f(x)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝( C )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
[解析] ∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C．
2．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，π]，则导数 f ′(1)的取值范围是( D )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
[解析] f ′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x
∴f ′(1)＝sinθ＋cosθ
＝2sin(θ＋)
∵θ∈[0，π]，
∴sin(θ＋)∈[，1]
∴f ′(1)∈[，2]．
二、填空题
3．(2019·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝.
[解析] f′(x)＝－sin(x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
4．(2019·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f ′(1)＝e＋1.
[解析] 由f(lnx)＝x＋lnx，得f(x)＝ex＋x，∴f′(x)＝ex＋1，∴f′(1)＝e＋1.
三、解答题
5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析] f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
课件45张PPT。第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则自主预习学案
1．基本初等函数的导数公式0 αxα－1 cosx －sinx axlna ex 3．复合函数及其求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作____________.
(2)复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________.即y对x的导数等于______________________________的乘积．xy＝f(g(x)) yu′·ux′ y对u的导数与u对x的导数 1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．DD B 4．(2019·白银期末)函数y＝x3＋3x2＋6x－10的导数y′＝_____________.
[解析] 函数的导数为y′＝3x2＋6x＋6.3x2＋6x＋6 互动探究学案命题方向1 ?导数运算法则的应用3 典例 1 [思路分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．命题方向2 ?利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数典例 2 『规律总结』 求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题．尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导.命题方向3 ?复合函数的求导典例 3 『规律总结』 1.求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．〔跟踪练习3〕
求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)3；
(2)y＝sin2x＋cos2x.
[解析] (1)设y＝u3，u＝2x－1，则yu′＝3u2，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝6(2x－1)2，即y′＝6(2x－1)2；
(2)y′＝(sin2x)′＋(cos2x)′＝2cos2x－2sin2x.灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．综合应用问题典例 4 [思路分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.『规律总结』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．〔跟踪练习4〕
(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.1 函数y＝xe1－2x的导数为__________________.
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全．对复合函数的求导不完全而致误典例 5 D 2．(2019·衡水高二检测)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
[解析] f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.D3．(2019·河北区一模)已知函数f(x)＝xex，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(0)＝________.
[解析] 函数f(x)＝xex，
则f ′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
∴f ′(0)＝(1＋0)e0＝1.
故答案为1.1课时作业学案
