第一章 1.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有( A )
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，
(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．
2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( A )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵f(x)＝2x＋x3－2,0
0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sinx B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．
5．y＝xlnx在(0,5)上是( C )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
[解析] ∵y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，
∴当0∴y在(0，)上单调递减．
当－1，即y′>0，
∴y在(，5)上单调递增．
6．(2019·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B )
[解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；则B正确．
故选B．
二、填空题
7．(2019·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为(－∞，－)，(1，＋∞).
[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋)(x－1)．
令f′(x)>0，解得x>1或x<－.
函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(1，＋∞)．
故答案为(－∞，－)，(1，＋∞)．
8．(2019·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cosx(0≤x≤2π)的单调递减区间为(，).
[解析] ∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0，
∴sinx＞，
又∵x∈[0,2π]，∴x∈(，)，故答案为(，)．
三、解答题
9．(2018·天津理，20(1)改编)已知函数f(x)＝ax，其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间．
[解析] 由已知，h(x)＝ax－xln a，有h′(x)＝axln a－ln a＝lna(ax－1)，
由a>1，得lna>0，令h′(x)>0得x>0，
令h′(x)<0，得x<0，
所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)·ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
[解析] ∵f(x)＝(x2－2ax)ex，
∴f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，∵ex>0，
令f ′(x)>0，即x2＋2(1－a)x－2a>0，
得xa－1＋，
令f ′(x)<0得递减区间为a－1－∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.f(x)在区间(－1,1)上单调递减，
∴x2≥1，即a－1＋≥1，
∴a≥.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·和平区二模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为( A )
A．(－1,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
[解析] 因为函数f(x)，(x∈R)上任一点(x0，y0)的切线方程为
y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，
即函数在任一点(x0，y0)的切线斜率为k＝x－x0－2，
即知任一点的导数为f ′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，
由f ′(x)＜0，得－1＜x＜2，即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)．
故选A．
2．(2019·黔东南州一模)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，则函数y＝lnf(x)的单调递增区间是( A )
A．(kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
[解析] 由已知，化简得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，
又y＝lnf(x)与y＝f(x)的单调性相同且f(x)＞0，
所以2x＋∈(2kπ，2kπ＋]，
∴x∈(kπ－，kπ＋](k∈Z)，
故选A．
3．若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( C )
A．[－1,1] B．[－1，]
C．[－，] D．[－1，－]
[解析] 函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，
则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，
所以，
解得－≤a≤.故选C．
二、填空题
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为{0}.
(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为{a|a≤0}.
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，
∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，
∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．
(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有≥1，∴a≤0，
∴a的取值集合为{a|a≤0}．
三、解答题
5．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f ′(x)＝3ax2＋2bx，
所以f ′(1)＝3a＋2b，又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以3a＋2b＝－1，a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1，所以f(1)＝a＋b＋c＝c，由点(1，c)在直线x＋y＝1上，可得1＋c＝1，即c＝0，所以a＝－1，b＝1，c＝0.
(2)由(1)令f ′(x)＝－3x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
当x∈(－∞，0)时f ′(x)<0；当x∈(0，)时f ′(x)>0；
当x∈(，＋∞)时f ′(x)<0，
所以f(x)的增区间为(0，)，减区间为(－∞，0)和(，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f ′(x)＝0的两根．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f ′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．
又x＝－2和x＝1为f ′(x)＝0的两根，
所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0.故有
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1，
∴f ′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f ′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．
课件43张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数自主预习学案
1．函数的单调性与导函数正负的关系
由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0处的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)________0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内，f′(x)________0，则曲线在该区间内是下降的．
由此我们得出：
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间单调________；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调________.＞<递增 递减 2．函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较________，其图象比较________.即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率绝对值越大，函数f(x)的变化率就越大．快陡峭 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得x>2，∴选D．D2．(2019·德州高二检测)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )AD C 互动探究学案 (1)(2019·临沂高二检测)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )命题方向1 ?利用导数研究函数的单调性D典例 1 『规律总结』 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f ′(x)：(1)若f ′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f ′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性.命题方向2 ?求函数的单调区间典例 2
当b<0时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．命题方向3 ?已知函数的单调性，确定参数的取值范围典例 3 『规律总结』 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.〔跟踪练习3〕
(2019·湖北重点中学联考)设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．转化思想的应用——构造法证明不等式典例 4 『规律总结』 若证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明：f(x)－g(x)>0.如果[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．若F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，f(a)－g(a)>0，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x).利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误典例 5 B [解析] 由题意如图f ′(x)>0，则y>1，对应的区间是(－∞，2)
故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)，
故选B．2．函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2022，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2018的解集为( )
A．(－2,2) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)
[解析] 令F(x)＝f(x)－x2－2018，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，
又F(－2)＝f(－2)－4－2018＝2022－2022＝0，
∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2018的解集为(－∞，－2)．C3．设 f ′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )D[－1,1] 课时作业学案