第一章 1.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[解析] 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B．
2．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( C )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[解析] 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( D )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[解析] 由题意得f ′(x)＝3x2－12，由f ′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
4．设函数f(x)＝＋lnx，则( D )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[解析] ∵f(x)＝＋lnx，
∴f ′(x)＝－＋，令f ′(x)＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2.当0
当x>2时，f ′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点．
5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．(0，)
[解析] y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以
解得06．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( B )
A．a＝0或a＝21 B．0≤a≤21
C．a<0或a>21 D．0[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为c<.
[解析] ∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，
解得c<.
8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(0，).
[解析] 由题知，x>0，f ′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，
∴0三、解答题
9．(2018·天津文，20)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若d＝3，求f(x)的极值．
[解析] (1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f ′(x)＝3x2－1.
因此f(0)＝0，f ′(0)＝－1.
又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f ′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知可得
f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.
故f ′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.
令f ′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，t2－)
t2－
(t2－，t2＋)
t2＋
(t2＋，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6，
函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6.
10．(2018·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解析] (1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f ′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f ′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f ′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f ′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·杭州二模)已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx( C )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
[解析] ∵a＞0 且 a≠1，函数 f (x)＝(x－a)2lnx，
∴f ′(x)＝2(x－a)lnx＋＝(x－a)(2lnx＋1－)，
由f ′(x)＝0，得x＝a或2lnx＋1－＝0，
由方程2lnx＋1－＝0，
作出g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝的图象，
结合图象得g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝的图象有交点，
∴方程2lnx＋1－＝0有解，
由此根据函数的单调性和极值的关系得到：
函数f (x)＝(x－a)2lnx既有极大值，又有极小值．
故选C.
2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设 f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f ″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋…＋g()＝( )
A．2017B.2018
C．2019D.2020
[解析] 函数的导数g′(x)＝x2－x＋3，
g″(x)＝2x－1，
由g″(x0)＝0得2x0－1＝0，解得x0＝，而g()＝1，
故函数g(x)关于点(，1)对称，
∴g(x)＋g(1－x)＝2，
故设g()＋g()＋…＋g()＝m，
则g()＋g()＋…＋g()＝m，
两式相加得2×2018＝2m，则m＝2018.故选B.
二、填空题
3．(2019·广西二模)若函数f(x)＝x3－3x2－a(a≠0)只有2个零点，则a＝－4.
[解析] f(x)＝x3－3x2－a
则f ′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，可得x＝0或x＝2，即函数有两个极值点，
函数f(x)＝x3－3x2－a(a≠0)只有2个零点，
由f(0)＝－a＝0得a＝0，又a≠0，∴a＝0舍去．
由f(2)＝8－12－a＝0得a＝－4.综上a＝－4时，f(x)有且只有2个零点．
故答案为－4.
4．(2019·全国一模)已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：
①0；③f(x0)＋x0＜0；④f(x0)＋x0＞0；其中正确的命题是①③.(填出所有正确命题的序号)
[解析] ∵函数f(x)＝xlnx＋x2，(x＞0)
∴f ′(x)＝lnx＋1＋x，易得f ′(x)＝lnx＋1＋x在(0，＋∞)递增，
∴f ′()＝＞0，
∵x→0，f ′(x)→－∞，
∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；
∵lnx0＋1＋x0＝0
∴f(x0)＋x0＝x0lnx0＋x＋x0＝x0(lnx0＋x0＋1)＝－x＜0，即③正确，④不正确．
故答案为①③.
三、解答题
5．(2019·保定二模)已知函数f(x)＝(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
[解析] f(x)＝，(x＞0)，∴f ′(x)＝，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．
6．(2018·全国卷Ⅲ理，21)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x.
(1)若a＝0，证明：当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0；
(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.
[解析] (1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，
f ′(x)＝ln(1＋x)－.
设函数g(x)＝f ′(x)＝ln(1＋x)－，则g′(x)＝.
当－1＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0.故当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f ′(x)≥0，且仅当x＝0时，f ′(x)＝0.
所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增．
又f(0)＝0，故当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0.
(2)(ⅰ)若a≥0，由(1)知，
当x＞0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x＞0＝f(0)，
这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．
(ⅱ)若a＜0，
设函数h(x)＝＝ln(1＋x)－.
由于当|x|＜min时，2＋x＋ax2＞0，
故h(x)与f(x)符号相同．
又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点，
当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．
h′(x)＝－
＝.
若6a＋1＞0，则当0＜x＜－，且|x|＜min时，h′(x)＞0，故x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＜0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1＜0，
故当x∈(x1,0)，且|x|＜min时，h′(x)＜0，
所以x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＝0，则h′(x)＝，
则当x∈(－1,0)时，h′(x)＞0；当x∈(0,1)时，h′(x)＜0.
所以x＝0是h(x)的极大值点，从而x＝0是f(x)的极大值点．
综上，a＝－.
课件53张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数自主预习学案
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递增，f′(x)________0，右侧f(x)单调递减，f′(x)________0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)________0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有________，(e，f(e))，与b类似的点还有________.><＝(c，f(c)) (d，f(d)) 我们把点a叫做函数f(x)的极________值点，f(a)是函数的一个极________值；把点b叫做函数f(x)的极________值点，f(b)是函数的一个极________值．大大小小2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有______________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个____________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个______________.极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________.f(x)f(x0) 极小值 极小值点 极值 极值点 1．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
[解析] ①y＝x3在R上单调递增，无极值；
②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；
③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；
④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B．BC 4．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.互动探究学案 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．命题方向1 ?利用导数求函数的极值典例 1 『规律总结』 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.A B 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．
[思路分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左、右异号．命题方向2 ?求参数的值或取值范围问题典例 2 『规律总结』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析] 给出了y＝f′(x)的图象，应观察图象找出使f′(x)>0与f′(x)<0的x的取值范围，并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．命题方向3 ?图象信息问题典例 3 ③『规律总结』 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解.①②④ [解析] 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf ′(x)>0，于是f ′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)内是增函数，①正确；当x∈(－∞，－1)时，xf ′(x)<0，所以f ′(x)>0，当x∈(－1,0)时，xf ′(x)>0，所以f ′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，②正确；当x∈(－1,1)时，f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,1)内是减函数，③错；当x∈(0,1)时，xf ′(x)<0，于是f ′(x)<0，故f(x)在区间(0,1)内是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，④正确．在函数的综合问题中，涉及方程的根的个数时，常以函数极值为工具，并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围．有关函数极值的综合应用典例 4 (2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．『规律总结』 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决．〔跟踪练习4〕
设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线f(x)与x轴有且只有一个交点？ 已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[错因分解] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．忽视极值存在的条件致误典例 5 当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[点评] 由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点CA 3 4．(2018·全国卷Ⅰ文，21(1))已知函数f(x)＝aex－ln x－1.设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间．课时作业学案