第一章 1.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
2．使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] ∵f ′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值，故选B．
3．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，
∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)为最大值．故选B．
4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
[解析] ∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f ′(x)＝0得x＝0或2.
∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，
∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( B )
A．0≤a<1 B．0
C．－1[解析] ∵f ′(x)＝3x2－3a，令f ′(x)＝0，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴06．已知(a＋1)x－1－lnx≤0对任意x∈[，2]恒成立，则实数a的最大值为( C )
A．0 B．1
C．1－2ln2 D．
[解析] 原问题等价于a＋1≤对任意x∈[，1]恒成立，令h(x)＝，则h′(x)＝－，令h′(x)＝0，得x＝1，且当x∈[，1)时，h′(x)>0，当x∈(1,2]时，h′(x)<0，所以函数h(x)在[，1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min{h()，h(2)}＝h()＝2－2ln2，所以a≤2－2ln2－1＝1－2ln2.故选C．
二、填空题
7．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是2－2ln2＋2a.
[解析] 令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
8．已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是[e，＋∞).
[解析] f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.
令g(x)＝2x2－2x2lnx，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2lnx)．
由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0.
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0，
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
10．已知函数f(x)＝lnx＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解析] 函数f(x)＝lnx＋的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f ′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f ′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
B级 素养提升
一、选择题
1．若函数f(x)在定义域R内可导，f(1.9＋x)＝f(0.1－x)且(x－1)f′(x)＜0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( D )
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>a>c
[解析] ∵(x－1)f′(x)＜0，
∴当x＞1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；
当x＜1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增．
又f(1.9＋x)＝f(0.1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴f(3)＝f[2－(－1)]＝f(－1)，
∵－1＜0<，
∴f(－1)＜f(0)＜f()，∴f(3)∴b＞a＞c，故选D．
2．(2019·铁东区校级一模)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上最大值为M，最小值为N，则M－N＝( A )
A．20 B．18
C．3 D．0
[解析] 函数f(x)＝x3－3x－1的导数为f ′(x)＝3x2－3，
令f ′(x)＝0，解得x＝±1，
所以1，－1为函数f(x)的极值点．
因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，
N＝f(x)min＝－19，
对于区间[－3,2]上最大值为M，最小值为N，则M－N＝20，
故选A．
二、填空题
3．(2019·红桥区一模)函数y＝－ex＋x在R上的最大值是－1.
[解析] 函数y＝－ex＋x，y′＝1－ex，由y′＝0得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，y′＞0，函数y＝x－ex单调递增，
当x∈(0，＋∞)时，y′＜0，函数y＝x－ex单调递减，
所以，当x＝0时，y取得最大值，最大值为－1.
故答案为－1.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞).
[解析] 令g(x)＝(x≠0)，
∵x>0时，>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
5．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
6．(2018·全国卷Ⅱ文，21)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
[解析] (1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f ′(x)＝x2－6x－3.
令f ′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．
(2)证明：因为x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，
仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
课件45张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.3 函数的最大(小)值与导数自主预习学案
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是_________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在________内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的________与端点处的______________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一条连续不断 (a，b) 各极值 函数值f(a)，f(b) 最大 最小 1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[解析] f′(x)＝－4x3＋4x，
由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B．BA 3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.32 4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_________________.(－4，－2) 互动探究学案命题方向1 ?求函数的最值C 典例 1 『规律总结』 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.A A 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点，求a的取值范围；
(3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．
[思路分析] (1)求f(x)的单调区间，可解不等式f′(x)≥0，f′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点的含义是f′(x)＝0在[－1,1]内没有实数根，故f(x)在[－1,1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2,2]内恒成立，则f(x)在[－2,2]内的最大值小于等于1.命题方向2 ?含参数的函数最值问题典例 2 『规律总结』 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．〔跟踪练习2〕
已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．函数最值的综合应用典例 3 [思路分析] 第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.〔跟踪练习3〕
(2019·石家庄高二检测)已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.
(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值范围．没有准确把握条件致误 典例 4 [点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保
证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．AC 4．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．课时作业学案