第一章 1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )
A．8 B．
C．－1 D．－8
[解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．(2019·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为( D )
A． cm B．cm
C．cm D．cm
[解析] 设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( D )
A．5分米 B．6分米
C．7分米 D．8分米
[解析] 设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．
4．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在100天时( C )
A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加
C．公司盈利在逐渐减少 D．公司有时盈利有时亏损
[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( C )
A．R B．2R
C．R D．R
[解析] 设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，
∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0，得h＝R.当00；当6．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( B )
A．6cm B．8cm
C．10cm D．12cm
[解析] 设四角截去的小正方形边长为xcm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(00；当8二、填空题
7．如图，已知用某种材料制成的圆柱形饮料瓶的容积为250mL，则它的底面半径r等于5π－cm时，可使所用的材料最省．(用含有π的式子表示)
[解析] 设圆柱的表面积为S，
容积为V，
则S＝2πrh＋2πr2，
而V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，
S′＝－＋4πr，令S′＝0，得r＝5π－.令S′>0，得r>5π－；令S′<0，得08．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝80时，等腰梯形面积最大．
[解析] 如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sinθ，
AB＝40＋2ADcosθ，
故S＝AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)
＝20(80＋80cosθ)sinθ
＝1600(1＋cosθ)sinθ.
S′＝1600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，
令S′＝0，得cosθ＝－1，cosθ＝.
因为0<θ<，所以cosθ>0，所以cosθ＝，
即θ＝时，等腰梯形的面积最大，
此时AB＝40＋2×40×＝80.
三、解答题
9．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解析] (1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)
＝(21－x)(432＋6x2)，
∴f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f ′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,30)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
故x＝12时，f(x)取得极大值，
∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，
∴定价为30－12＝18(元)能使一星期的商品销售利润最大．
10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[解析] (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，耗油×2.5＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝·
＝x2＋－ (0f′(x)＝－＝(0令f′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．
因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t(秒)的函数关系是α＝t2(t≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为( B )
A．20π弧度/秒 B．10π弧度/秒
C．8π弧度/秒 D．5π弧度/秒
[解析] α′＝，
∴车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：×1.6＝10π.
故选B．
2．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( C )
A． B．
C． D．2
[解析] 设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝＋2hx，
∴2h＝－x.
则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋.
令l′＝＋2－＝0，
解x＝或－(舍)
因为函数只有一个极值点，所以x＝为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故选C．
二、填空题
3．(2019·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为0.032.
[解析] 用y表示银行的收益，由题可知存款额是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.
∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)
y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)
令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)
当00，
当0.032∴当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．
4．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为0.5m.
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
三、解答题
5．(2018·浙江卷，22)已知函数f(x)＝－ln x.
(1)若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f(x2)>8－8ln 2；
(2)若a≤3－4ln 2，证明：对于任意k>0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．
[解析] (1)证明：函数f(x)的导函数为f ′(x)＝－.
由f ′(x1)＝f ′(x2)得
－＝－.
因为x1≠x2，
所以＋＝.
由基本不等式得＝＋≥2.
因为x1≠x2，所以x1x2>256.
由题意得f(x1)＋f(x2)＝－ln x1＋－ln x2＝－ln (x1x2)．
设g(x)＝－ln x，则g′(x)＝(－4)，
x
(0,16)
16
(16，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?
2－4ln 2
?
所以g(x)在[256，＋∞)上单调递增，
故g(x1x2)>g(256)＝8－8ln 2，
即f(x1)＋f(x2)>8－8ln 2.
(2)证明：令m＝e－(|a|＋k)，n＝2＋1，则
f(m)－km－a>|a|＋k－k－a≥0，
f(n)－kn－a所以，存在x0∈(m，n)使f(x0)＝kx0＋a，
所以，对于任意的a∈R及k∈(0，＋∞)，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有公共点．
由f(x)＝kx＋a得k＝.
设h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
其中g(x)＝－ln x.
由(1)可知g(x)≥g(16)，又a≤3－4ln 2，
故－g(x)－1＋a≤－g(16)－1＋a＝－3＋4ln 2＋a≤0，
所以h′(x)≤0，即函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因此方程f(x)－kx－a＝0有唯一一个实根．
综上，当a≤3－4ln 2时，对于任意k>0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．
6．甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000 (0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，
∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元．
课件57张PPT。第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例自主预习学案
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中________的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是________.
3．解决优化问题的基本思路：自变量 最值 C C 3．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.144 4．一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m，要使观察者观察得最清晰，他与墙的距离应为(视角最大时最清晰，视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线所夹的角)________.2.4 m 互动探究学案 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？命题方向1 ?面积、容积最大问题典例 1 [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．『规律总结』 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. (1)如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是下图中的( )命题方向2 ?平面几何中的最值问题A典例 2 『规律总结』 1.利用导数解决优化问题的基本思路
2．关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.〔跟踪练习2〕
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．角度1：用料最省费用最少问题 命题方向3 ?实际生活中的最值问题典例 3 [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．角度2：利润最大问题典例 4 『规律总结』 解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解决此类问题中有广泛的应用．利用基本不等式求最值时，必须注意使用的前提以及等号成立的条件成立，否则易犯错误，注意f ′(x0)＝0的x0是否在定义域内，从而进行分类讨论．利用基本不等式处理优化问题典例 5 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系典例 6 D A 3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 16 B．30 15
C．40 20 D．36 18A课时作业学案
