第一章 1.5 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( C )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C．
2．在求由x＝a、x＝b(a
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A．
3．在求由函数y＝与直线x＝1、x＝2、y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为( B )
A．[，] B．[，]
C．[i－1，i] D．[，]
[解析] 把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B．
4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积是( D )
A．4π B．
C．3π D．2π
[解析] 如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与y＝1围成的面积可转化为求由直线y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π围成的矩形面积为1×2π＝2π.
5．在求由曲线y＝与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 每个小区间长度为，第i个小区间为[，]，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈·＝.
6．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( B )
A．·]
B．·]
C．
D．·n]
[解析] 将区间[0,2]n等分后每个区间长度为，第i个小区间为[，](i＝1,2,3，…，n)，故应选B．
二、填空题
7．直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为3.92、5.52.
[解析] 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
8．若做变速直线运动的物体V(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为3.
[解析] 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．
依题意得 ＝9，
∴＝9，解得a＝3.
三、解答题
9．求直线x＝0、x＝2、y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．
[解析] 将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为.
第i个小区间的面积ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝.
S＝Sn＝
＝[(1－)(2－)]＝，
∴所求曲边梯形面积为.
10．一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋50(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．
[解析] (1)分割：在[0,2]上等间隔插入n－1个点将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝，则汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsn，有sn＝si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)．
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si＝
＝－·－·－…－·＋100
＝－(12＋22＋…＋n2)＋100.
＝－8·＋100.
(4)取极限：
s＝sn
＝ ＝(km)．
B级 素养提升
一、选择题
1.()·()]的含义可以是( C )
A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
[解析] 将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y＝，
因此()·()]可以表示由直线x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．故选C．
2．直线x＝a，x＝b(a0)所围成的曲边梯形的面积S＝( D )
A．(ξi)· B．(ξi)·
C．(ξi)· D．·f(ξi)
[解析] ∵△Si＝f(ξi)·
S＝Si＝(ξi)·.
故选D．
二、填空题
3．由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是.
[解析] 将区间[1,2]4等分，则Δx＝，每个区间左端点值为1＋＝(i＝1,2,3,4)，所以小矩形的高为f()＝，
∴Sn＝()×＝＝＋＋＋＝.
三、解答题
4．火箭发射后ts的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义？
[解析] 将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3，…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时段内运动的路程．
从而Sn＝v(t1)·Δt＋…＋v(ti)·Δt＋…＋v(tn)·Δt≈s(火箭在10s内运行的路程)．
这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)·Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)·Δt式所作的和的实际背景．
当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，sn就无限趋近于火箭在10s内运行的总路程．
课件46张PPT。第一章导数及其应用1.5 定积分的概念第1课时 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程自主预习学案
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的________函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a、x＝b(a≠b)、y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．连续 y＝f(x) (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些______________(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“________”，即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．小曲边梯形 以直代曲 矩形 近似值 求和 定值 分割 近似代替 求和 取极限 D D C 4．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．互动探究学案命题方向1 ?求曲边梯形的面积典例 1
已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.命题方向2 ?求变速运动的路程典例 2 『规律总结』 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.〔跟踪练习2〕
一辆汽车做变速直线运动，若汽车在时刻t的速度为v(t)＝2t2，求汽车在t＝1到t＝4这段时间内运动的路程s. 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
[思路分析] 利用定积分的定义求解．利用定积分定义求变力做的功典例 3 『规律总结』 分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形的面积，但这是近似值，分割得越细，近似程度就会越好，这是“以直代曲”方法的应用．搞错区间端点致误典例 4 C 2.求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]等分成5等份，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________.0.33 3．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．课时作业学案第一章 1.5 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题不正确的是( D )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
[解析] 对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确；C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线与x轴围成的面积比f(x)<0的曲线与x轴围成的面积大．故选D．
2．物体做变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t＝1秒末时它所在的位置为( B )
A．v(t)dt B．s0＋v(t)dt
C．－v(t)dt D．s0－v(t)dt
[解析] 由定积分的物理意义可知B正确．
3．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是( D )
A．x2dx B．2xdx
C．x2dx＋2xdx D．2xdx＋x2dx
[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D．
4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝( A )
A．(x－x2)dx B．(x2－x)dx
C．(y2－y)dy D．(y－)dy
[解析] 画出曲线y＝x2与直线y＝x(如图所示)，由图象，得曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝(x－x2)dx.
5．若|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为( A )
A．6 B．56
C．36 D．2016
[解析] 由|56x|dx＝56－a|x|dx≤2016，得|x|dx≤36，
∴|x|dx＝2xdx＝a2≤36，
即06．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( C )
A．2 B．－3
C．－1 D．4
[解析] [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
二、填空题
7．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为dx.
[解析] 阴影部分由直线x＝－4，x＝2，y＝0和曲线y＝围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为dx.
8．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为.
[解析] 因为0≤f(x)≤1，且由定积分的定义知：
f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴围成图形的面积．
又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N个数对，即N个点．
而满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.
三、解答题
9．利用定积分的几何意义，解释下列等式．
(1)2xdx＝1；(2) dx＝.
[解析] (1)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故2xdx＝1.
(2) dx表示由曲线y＝，直线x＝－1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，
故dx＝.
10．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程．
[解析] 由题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)＝
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s＝v(t)dt
＝tdt＋(50－t)dt＋10dt
＝300＋400＋200＝900(米)．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则f(x)dx的值( A )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
[解析] ∵f(x)为奇函数，由定积分性质知，f(x)dx＝0，选A．
2．曲线y＝－x2与直线y＝2x所围成的面积S＝( A )
A． (－x2－2x)dx
B． (2x－x2)dx
C． (－y2－2y)dy
D． (－y)dy
[解析] 画出曲线y＝－x2与直线y＝2x(如图)，由图象，得曲线y＝－x2与直线y＝2x所围成的图形的面积为S＝ (－x2－2x)dx.
二、填空题
3．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图象过(3,4)点，
∴3a＋b＝4.
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝a＋b＝1.
解方程组
得
∴f(x)＝x＋.
4．(2019·兴庆区校级二模)由直线y＝－x＋和曲线y＝围成的封闭图形的面积用定积分可表示为 (－x＋－)dx.
[解析] 曲线y＝－x＋，直线y＝联立，可得交点坐标为(，2)、(2，)，
∴曲线y＝－x＋，直线y＝所围成的封闭图形的面积为S＝ (－x＋－)dx.
故答案为 (－x＋－)dx.
三、解答题
5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
[解析] 由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cosxdx＝0，由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4.
6．已知f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，求：(1)f(x)dx；(2)2f(x)dx＋3f(x)dx.
[解析] (1)∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx
＝－1－1
＝－2.
(2)2f(x)dx＋3f(x)dx
＝2f(x)dx＋3f(x)dx
＝2×1＋3×(－2)
＝－4.
7．画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.
(2)y＝x，y＝0，x＝，x＝3.
[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S，则S＝|sinx|dx
或S＝sinxdx＋(－sinx)dx
＝sinxdx－sinxdx.
(2)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S.则S＝xdx－xdx.
课件46张PPT。第一章导数及其应用1.5 定积分的概念第2课时 定积分的概念自主预习学案
定积分 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 f(x)≥0 直线x＝a，x＝b(a≠b) 曲线y＝f(x) 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为( )
A．[0，e2] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,1]BC C > < < 互动探究学案命题方向1 ?定积分的定义典例 1
A 命题方向2 ?利用定积分的几何意义计算定积分典例 2
命题方向3 ?利用定积分的性质求定积分典例 3
定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具，注意这些性质的正用和逆用及变形应用．主要考查定积分表示平面图形的面积．利用定积分求平面图形的面积典例 4 『规律总结』 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；
(4)根据定积分的性质写出结果． 由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为____________.错用定积分的几何意义致误典例 5 B C C 课时作业学案