第一章 1.6
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·四平模拟)定积分dx的值为( A )
A． B．
C．π D．2π
[解析] ∵y＝，
∴(x－1)2＋y2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，
∴定积分dx＝，
故选A．
2．(2019·铁东区校级二模)由曲线xy＝1与直线y＝x，y＝3所围成的封闭图形面积为( D )
A．2－ln3 B．ln3
C．2 D．4－ln3
[解析] 方法一：由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)，由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，
由y＝x，y＝3可得交点坐标为(3,3)，
∴由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为
(3－)dx＋(3－x)dx＝(3x－lnx)| ＋(3x－x2)|，
＝(3－1－ln3)＋(9－－3＋)＝4－ln3
故选D．
方法二：由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)，
由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，
由y＝x，y＝3可得交点坐标为(3,3)，
对y积分，则S＝(y－)dy＝(y2－lny)|＝－ln3－(－0)＝4－ln3，
故选D．
3.|x3－8|dx＝( C )
A．32 B．－32
C．56 D．－56
[解析] ∵|x3－8|＝
∴|x3－8|dx＝(8－x3)dx＋(x3－8)dx
＝(8x－x4)|＋(x4－8x)|
＝(16－4)＋[(64－32)－(4－16)]
＝12＋32＋12
＝56.
4．若a＝xdx，b＝dx，c＝dx，则a，b，c的大小关系为( D )
A．a
C．b[解析] ∵a＝(x2)|＝8－2＝6，b＝(4lnx)|＝4(ln4－ln2)＝4ln2.
又6>4lne>4ln2，
∴a>b.由定积分的几何意义，
可知c＝dx＝.
又4ln2＝ln16>lne2＝2>，
∴b>c，故c5．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f ′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f ′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝(x3－x2)|＝.
6．(2019·昆明高二检测)若直线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分 (x3＋sin x－5)dx的值为( D )
A．6＋2sin 2 B．－6－2cos 2
C．20 D．－20
[解析] 由l1⊥l2得4－2a＝0即a＝2，∴原式＝
(x3＋sin x－5)dx＝ (x3＋sin x)dx＋ (－5)dx＝0－20＝－20.
二、填空题
7．已知f(x)是偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx＝16.
[解析] 因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y轴两侧的图象对称，所以f(x)dx＝－6f(x)dx＋f(x)dx＝2f(x)dx＝16.
8．函数F(x)＝costdt的导数是cosx.
[解析] F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx.
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)(2x2－)dx；
(2)(＋)2dx；
(3) (sinx－sin2x)dx.
[解析] (1)∵(x3－lnx)′＝2x2－，
∴(2x2－)dx＝(x3－lnx)|
＝(×23－ln2)－(×13－ln1)
＝－ln2.
(2)∵(＋)2＝x＋＋2，
且(＋lnx＋2x)′＝x＋＋2，
∴(＋)2dx＝(＋lnx＋2x)|
＝(＋ln3＋6)－(＋ln2＋4)
＝＋ln.
(3)∵(－cosx＋cos2x)′＝sinx－sin2x，
∴ (sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)
＝(－cos＋cos)－(－cos0＋cos0)
＝－－＋1－
＝－.
10．(2019·泉州模拟)已知f(x)＝(kx＋b)ex且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1)．
(1)求k与b的值；
(2)求(x·ex)dx.
[解析] (1)∵f(x)＝(kx＋b)ex，
∴f ′(x)＝(kx＋k＋b)ex，
∴f ′(1)＝e，f(1)＝0，
即
解得k＝1，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝(x－1)ex，
f ′(x)＝xex，
∴(xex)dx＝(x－1)ex|＝0＋1＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．dθ的值为( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵1－2sin2＝cosθ，
∴dθ＝cosθdθ
＝sinθ＝，故应选D．
2．定义在R上的可导函数y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由已知得：f(x0)＝＝＝0，即x－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±，∴f(x)的平均值点有3个，故选C．
二、填空题
3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝－1或.
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
4．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k＝3.
[解析] 由解得或
由题意得，(kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3.
三、解答题
5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析] ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．
[解析] 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝(－)|＝－＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以＝ (x－x2－kx)dx＝(x2－)|＝(1－k)3，
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－＝1－.
课件39张PPT。第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理自主预习学案
连续 f(x) F(b)－F(a) 原函数 原函数 原函数 定义 几何意义 微积分基本定理 －2 1 0 24 互动探究学案命题方向1 ?利用微积分基本定理求定积分典例 1 『规律总结』 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：
第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和．
第二步，依次找出各被积函数的一个满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)．
第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．
命题方向2 ?微积分基本定理的应用典例 2 3 求分段函数的定积分时，可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解．求分段函数的定积分典例 3
C 3 积分变量分辨不清 典例 4 B 2 1 课时作业学案