第一章 1.7
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图所示，阴影部分的面积是( C )
A．2 B．2－
C． D．
[解析] S＝ (3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
2.一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是( B )
A．31m B．36m
C．38m D．40m
[解析] S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B．
3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由图象知，f(x)＝1－x2，
∴S＝ (1－x2)dx＝(x－)|＝.
4．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( C )
A． B．2
C． D．
[解析] 依题意，l的方程为y＝1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积S＝4－2dx＝4－2·|＝.选C．
5．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D )
A．2 B．4
C．2 D．4
[解析] 如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
6．汽车以32m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为( B )
A．128m B．64m
C．32m D．80m
[解析] 由匀减速运动可得v(t)＝v0＋at，
其中v0＝32m/s，a＝－8m/s2，
故v(t)＝32－8t，令v(t)＝0，得t＝4，
即刹车时间为4s，可得刹车距离为s＝(32－8t)dt＝(32t－4t2)|＝64(m)．
二、填空题
7．由正弦曲线y＝sinx，x∈[0，]和直线x＝π及x轴所围成的平面图形的面积等于3.
[解析] 如图，所围成的平面图形(阴影部分)的面积
S＝|sinx|dx
＝sinxdx－sinxdx
＝－cos|＋cosx＝2＋1＝3.
8．椭圆＋＝1所围区域的面积为12π.
[解析] 由＋＝1，得y＝±，
又由椭圆的对称性知，
椭圆的面积为S＝4dx＝3dx，
由y＝，得x2＋y2＝16(y≥0)，
由定积分的几何意义知dx表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积；
∴dx＝×π×16＝4π，
∴S＝3×4π＝12π.
三、解答题
9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
[解析] 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
10．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：
(1)在t＝4s的位置；
(2)在t＝4s内运动的路程．
[解析] (1)在时刻t＝4时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＝(m)，
即在t＝4s时刻该质点距出发点m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＋|(t3－2t2＋3t)||＋(t3－2t2＋3t)|
＝＋＋＝4(m)
即质点在4s内运动的路程为4m.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·红谷滩新区校级二模)某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为v＝t3－3t2＋2t(km/h)，这3小时内他走过的路程为( C )
A．km B．km
C．km D．km
[解析] v＝t3－3t2＋2t的原函数可为F(t)＝t4－t3＋t2＝t2(t－2)2，
路程为v(t)dt－v(t)dt＋v(t)dt＝F(1)－F(0)－F(2)＋F(1)＋F(3)－F(2)＝2F(1)＋F(3)＝(km)，故选C．
2．(2019·济南高二检测)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( B )
A． B．1－
C． D．1－
[解析] 由题意得：S阴＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，由几何概型得所求概率P＝1－＝1－.
二、填空题
3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为.
[解析] 联立解得，或者，∴O(0,0)，B(1,1)，
∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.
4．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是.
[解析] 解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，
由对称性可知面积S＝2(x2dx＋1dx－x2dx)＝.
解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)．
由对称性知阴影部分的面积
S＝2·[(x2－x2)dx＋(1－x2)dx]
＝2·[x3|＋(x－x3)|]
＝2×(＋)＝.
解法3：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，C(－1,1)，D(－2，1)．
S＝ (1－x2)dx－ (1－x2)dx
＝(x－x3)|－(x－x3)|＝－＝.
解法4: 同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，
由对称性知，S＝2(2－)dy
＝2dy＝2×(y|)＝.
三、解答题
5．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f′(x)＝2ax＋b，∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
(3)依题意，有
S＝ (x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，
∴t＝1－.
6.如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．
[解析] (1)设点P的横坐标为t(0S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3，
因为S1＝S2，所以t3＝－2t＋t3，解得t＝，
故点P的坐标为(，)．
(2)令S＝S1＋S2，
由(1)知，S＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，则S′＝t2－2，
令S′＝0，得t2－2＝0，因为0又当00；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，此时点P的坐标为(，2)．
课件47张PPT。第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用自主预习学案
1．求平面图形的面积
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a、x＝b(a[思路分析] 先画出图形，再求出两曲线的交点，然后结合图形利用定积分写出面积表达式，最后利用微积分基本定理求解．命题方向1 ?不需分割图形面积的求解典例 1 『规律总结』 利用定积分求平面图形的面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象．
(2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的部分．
(3)借助图形确定出被积函数．
(4)求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和(定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面积．B 命题方向2 ?分割型平面图形面积的求解典例 2 『规律总结』 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的各交点坐标，可以将积分区间细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限为y的对应值．被积函数也相应的改变. 有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移；
(2)经过时间t后又返回原点时的t值．命题方向3 ?变速直线运动的路程、位移问题典例 3
〔跟踪练习3〕
列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？用定积分解决此类变力做功问题，要明确变力是在其方向上的位移之和，再用定积分求解．求变力做功 典例 4
〔跟踪练习4〕
设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．因被积函数和积分上下限确定不准致误典例 5 D 2．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为( )B3．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C．1－e D．e－1B课时作业学案
