第二章 2.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( D )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．
2．(2019·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式为an＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 依次代入检验，易得只有B符合．
3．观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( B )
A．76 B．80
C．86 D．92
[解析] 由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.
4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( A )
[解析] 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A．
5．(2019·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[解析] 由类比知识及相关运算性质易得C正确．
6．(2019·长春三模)设n∈N*，则＝( A )
[解析]
＝
故选A．
二、填空题
7．(2019·聊城模拟)高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在画画.
[解析] ∵以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：
打篮球
画画
跳舞
散步
A
×
×
B
×
×
C
×
×
D
×
×
则由表格知A在跳舞，B在打篮球，
篮球
画画
跳舞
散步
A
×
√
×
B
√
×
×
C
×
×
D
×
×
∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
∴C在散步，则D在画画，故答案为画画．
8．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2017＋a2018＋a2019的值为1009.
[解析] 由题图知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，则a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2017＋a2019＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，则a2018＝1009，所以a2017＋a2018＋a2019＝1009.
三、解答题
9．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在空间中，给出四面体性质的猜想．
[解析] 如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.
于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－
sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·金台区期中)下面几种是合情推理的是( B )
①由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
②数列{an}中，an＝2n－1推出a10＝19
③数列1,0,1,0，…推测出每项公式an＝＋(－1)n＋1·.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[解析] ①由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理．
②是从一般→特殊的推理，是演绎推理．
③是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理．
故选B．
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边长的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( C )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
二、填空题
3．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝πab.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1.
[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
4．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图象上任意不同的两点．依据图象可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论>a成立．运用类比思想方法，可知若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有[解析] 运用类比推理与数形结合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点(，sin)的纵坐标，即有三、解答题
5．已知椭圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1，写出具有类似的性质，并加以证明．
[解析] 类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：设M(m，n)，P(x，y)，
则N(－m，－n)，
因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
6．(2019·隆化县高二检测)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
[解析] 如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD．则＝＋＋.
如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋
∴＝＋＋，故猜想正确．
课件58张PPT。第二章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯.2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理自主预习学案
1．归纳推理和类比推理部分对象 全部对象 个别事实 归纳 某些类似特征 某些已知特征 这些特征 类比 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 2.合情推理观察 分析 联想 归纳 类比 猜想 猜想 1．(2019·周口期末)下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④演绎推理是由一般到特殊的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①④⑤ B．②③④
C．②③⑤ D．①⑤A[解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；
由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；
类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，
则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系___________________.
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.
4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为______________________ ______________________.
[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.b4＋b8>b5＋b7 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋ 2＋3＋4＋5)2 互动探究学案命题方向1 ?归纳推理典例 1 [思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点，分析等号右边的结果与项数的关系，从而写出一般性的结果．『规律总结』 由已知数式进行归纳推理的步骤
①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．
②提炼出等式(或不等式)的综合特点．
③运用归纳推理得出一般结论. 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．命题方向2 ?图形中的归纳推理4n＋8 典例 2 [解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.『规律总结』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
B 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．命题方向3 ?事物的相似性与类比典例 3 [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
弦 ? 截面圆，
直径 ? 大圆，
周长 ? 表面积，
圆面积 ? 球体积，
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：『规律总结』 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等．〔跟踪练习3〕
将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.四面体 二面角 面积 表面积 体积 命题方向4 ?类比推理典例 4 [思路分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．
(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值.归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论．
其具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．归纳推理在数列中的应用 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项an的表达式．典例 5 [解析] (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．『规律总结』 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．〔跟踪练习5〕
已知a1＝3，an＋1＝a(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出数列{an}的通项公式，并给出证明． 在下列类比推理中，正确的有____________.
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny.
③把实数a，b满足：“若ab＝0，b≠0，则a＝0”．类比平面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．因类比不当致误典例 6 [正解] ④ ①②中，loga(x＋y)与sin(x＋y)都是一个整体，而a(b＋c)中a与b＋c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；③中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；④中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的．
[点评] 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比．A 2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
……
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113B[解析] 由题意得，1×9＋2＝11,12×9＋3＝111,123×9＋4＝1111,1234×9＋5＝11111,12345×9＋6＝111111，
可得n位数与9相乘加上n＋1的结果是(n＋1)个1，
∴123456×9＋7＝1111111，故选B．3．(2019·乃东县校级期中)下面几种推理是合情推理的是________.
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.①②④ [解析] 根据题意，依次分析4个推理：
对于①，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③，不是合情推理，
对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
则是合情推理的是①②④.
故答案为①②④.4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_____________________________________成立．b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*) 课时作业学案
