第二章 2.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·岳麓区校级期末)利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lg的图象关于坐标原点对称，那么，这个三段论的小前提是( C )
A．f(x)是增函数 B．f(x)是减函数
C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数
[解析] 利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lg的图象关于坐标原点对称，
大前提：奇函数的图象关于坐标原点对称，
小前提：函数f(x)＝lg是奇函数，
结论：函数f(x)＝lg的图象关于坐标原点对称，
故小前提是：函数f(x)＝lg是奇函数，
故选C．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( A )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
[解析] 大前提为所有金属都能导电，小前提是铁是金属，结论为铁能导电，故选A．
3．(2019·崇仁县校级月考)有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在( A )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．以上都不是
[解析] ∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．
4．(2019·淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f ′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以，x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中( A )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
[解析] 大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f ′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f(x)，如果f ′(x0)＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( A )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
[解析] 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( C )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
二、填空题
7．(2019·江阴市期中)三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是②.(填写序号)
[解析] 推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中
大前提：矩形是平行四边形；
小前提：正方形是矩形；
结论：所以正方形是平行四边形．
故小前提是：②正方形是矩形．
故答案为②.
8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是y＝的定义域是[4，＋∞).
[解析] 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
三、解答题
9．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
[解析] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提
菱形是平行四边形小前提
菱形的对角线互相平分结论
(2)一切奇数都不能被2整除大前提
75是奇数小前提
75不能被2整除结论
10．设m为实数，利用三段论证明：方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
[解析] 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根．(大前提)
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，(小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．(结论)
B级 素养提升
一、选择题
1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( A )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
[解析] ∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A．
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．
二、填空题
3．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；
③f(x)的最小值是lg2；
④当－11时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是①③④.
[解析] 显然f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
当x>0时，f(x)＝lg＝lg(x＋)．
设g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
f(x)min＝f(1)＝lg2.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
[解析] 由题意知，f(0)＝0，
f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝0，
f(3)＝f(－2)＝0，f(4)＝f(－3)＝0，
f(5)＝f(－4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
三、解答题
5．判断下列推理是否正确？为什么？
①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．
[解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．
6．用三段论证明并指出每一步推理的大小前提．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
[证明] ∵同位角相等，两直线平行，(大前提)
又∵∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
∴DF∥EA(结论)
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
又BA∥DE，且DF∥EA，(小前提)
∴四边形AFDE为平行四边形，(结论)
∵平面四边形的对边相等，(大前提)
又DE与AF为平行四边形的对边，(小前提)
∴ED＝AF.(结论)
课件38张PPT。第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理自主预习学案
1．演绎推理
从_______________出发，推出________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_____________的推理．
2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系
(1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊 (2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．3．三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的________；
②小前提——所研究的________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________.
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：________.
(2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么______________________________________.一般原理 特殊情况 判断 S是P S中所有元素也都具有性质P A 2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致
D．错误，因为大前提错误A3．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真．
②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真．
③由合情推理得到的结论一定为真．
④演绎推理和合情推理都可以用于证明．
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确结论的序号为________.①⑤ 互动探究学案 将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．
(1)函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称；
(2)所有的奇数都不能被4整除，所以23不能被4整除；
(3)通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．
[思路分析] 分析各个命题，明确它们的大前提、小前提、结论，若有省略，则应补齐，然后再改写为三段论模式．命题方向1 ?三段论推理模式的理解与应用典例 1 [解析] (1)所有偶函数的图象关于y轴对称，大前提
函数f(x)＝x4是偶函数，小前提
所以函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称．结论
(2)所有的奇数都不能被4整除，大前提
23是奇数，小前提
所以23不能被4整除．结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为同一个常数，那么{an}为等差数列，大前提
通项公式为an＝3n－1的数列{an}中，
当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3为常数，小前提
所以通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．结论．『规律总结』 用三段论写演绎推理的过程时，关键是明确其中的大前提、小前提、结论，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不写的；小前提指出了一种特殊情况，有时也是省略的，大小前提结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，得到结论．〔跟踪练习1〕
将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．
(1)直角三角形的内角和等于180°；
(2)三角函数是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)在数列{an}中，an＝3·4n，则数列{an}是等比数列． 已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证：l⊥β.命题方向2 ?演绎推理在几何证明中的应用典例 2 ②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条
直线都垂直， 大前提
l⊥α，a?α， 小前提
所以l⊥a. 结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提
a∥b，且l⊥a， 小前提
所以l⊥b. 结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这
个平面垂直， 大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线， 小前提
所以l⊥β. 结论『规律总结』 在几何推理过程中，多数情况采用的都是三段论推理模式，其中大前提通常是：两个三角形全等、相似的判定定理，线面平行与垂直的判定定理、性质定理，面面平行与垂直的判定定理、性质定理等，因此都可以省略不写.〔跟踪练习2〕
用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提．
如图所示，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足．证明：AB的中点M到D、E的距离相等．用三段论证明代数题典例 3 m(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式．
(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列．
(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．三段论推理中大(小)前提错误致误 典例 4 [错因分析] 在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．[点评] 演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形B2．(2019·秦州区校级三模)下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a?平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中( )
A．大前提正确，结论错误
B．小前提与结论都是错误的
C．大、小前提正确，只有结论错误
D．大前提错误，结论错误
[解析] 直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．
故大前提错误，结论错误．
故选D．D3．(2019·天心区校级期末)由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
[解析] 用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的四个内角相等
小前提 ③正方形是矩形
结论 ①正方形的四个内角相等
故选D．D课时作业学案
