人教A版数学选修2-2 2.2.1　综合法与分析法(课件46张PPT+练习)

第二章　2.2.1
A级　基础巩固
一、选择题
1．用分析法证明不等式：欲证①A>B，只需证②CA．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分条件
D．必要条件
[解析]　∵②?①，但①不一定推出②，故选D．
2．命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了(　B　)
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法 D．演绎法
[解析]　由综合法的定义知选B．
3．(2019·德州高二检测)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　B　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析]　由定义得x(x－2)＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2<0，∴－24．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
[解析]　∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B．
5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　D　)
A．x<C．x<<2xy[解析]　∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　A　)
A．A≤B≤C　　　　　 B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[解析]　≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
7．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是a≠b且a≥0，b≥0.
[解析]　a＋b>a＋b?a＋b－a－b>0?a(－)＋b(－)>0?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是4.
[解析]　∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，
由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.
三、解答题
9．已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
[证明]　要证>－，
即证1>n－，只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
10．已知a，b，c表示△ABC的三边长，m＞0，
求证：＋＞.
[证明]　要证明＋＞，
只需证明＋－＞0即可．
∵＋－＝
，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2
＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，
∴＋＞.
B级　素养提升
一、选择题
1．要使－<成立，a、b应满足的条件是(　D　)
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析]　－<?a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
2．在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26.
其中正确的结论个数是____个(　A　)
A．3　　　 B．2　　　
C．1　　　 D．0
[解析]　∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，
∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A．
二、填空题
3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
则cos(α－β)＝－.
[解析]　由题意sinα＋sinβ＝－sinγ，①
cosα＋cosβ＝－cosγ，②
①，②两边同时平方相加得，
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1，
2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－.
4．(2019·余姚高二检测)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……
据此规律，第n个等式可为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[解析]　第一个等式右端是一个数，左端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n个等式左端的分母从1到2n，右端分母从n＋1到2n；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
三、解答题
5．已知A、B是△ABC的两个内角．向量m＝cosi＋sinj，其中i，j为相互垂直的单位向量．若|m|＝，证明：tanA·tanB＝.
[证明]　|m|2＝m2＝cos2＋·sin2＝＋·，
由|m|2＝，得cos(A－B)＝cos(A＋B)．
∴4(cosAcosB＋sinAsinB)＝5(cosAcosB－sinAsinB)．
即9sinA·sinB＝cosA·cosB．
又∵A，B是△ABC的内角，
∴cosAcosB≠0，故tanAtanB＝.
6．已知a、b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1[证明]　∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b，
由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2得
(a＋b)2>a＋b，又a＋b>0，
∴a＋b>1，
要证a＋b<，即证3(a＋b)<4，
∵a＋b>0，∴只需证明3(a＋b)2<4(a＋b)，
又a＋b＝a2＋ab＋b2，
即证3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，
也就是证明(a－b)2>0.
因为a、b是不等正数，故(a－b)2>0成立．
故a＋b<成立．综上，得1课件46张PPT。第二章推理与证明2.2　直接证明与间接证明2.2.1　综合法与分析法自主预习学案
1. 综合法的定义
利用________和某些数学________、________、________等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．
2．综合法的特点
从“已知”看“________”，逐步推向“________”，其逐步推理，是由________导________，实际上是寻找“已知”的________条件．已知条件　定义　公理　定理　推理论证　可知　未知　因　果　必要　P Q 结论 充分 需知 已知 充分 P 1．(2019·烟台期中)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；
∴分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件．
故选A．A2．(2019·桃城区校级期中)下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句是(　　)
A．2个　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个C[解析]　根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．
故选C．9 4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[证明]　因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.互动探究学案命题方向1　?用综合法证明不等式A 典例 1 综合法
④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；
⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，体现了a＋b＋c，a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac这三个式子之间的关系．命题方向2　?分析法的应用典例 2 『规律总结』　分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.命题方向3　?分析法证明不等式D 典例 3 『规律总结』　分析法证明不等式的方法与技巧
范围：对于一些条件复杂，结论简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法
方法：分析法证明不等式的思路是从要证明的不等式出发，逐步寻求它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式
应用：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．
特别提醒：逆向思考是分析法证明的立体思路，通过反推，逐步探寻使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题得以解决．切记“逆向”“反推”，否则会出现错误．综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．　利用分析法、综合法证明问题典例 4 『规律总结』　1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．
2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程 .〔跟踪练习4〕
在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．注意隐含条件的挖掘典例 5 1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定BC a>c>b 　课时作业学案