第二章 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a、b、c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋( C )
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
[解析] 假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋>－6，
但(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( D )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定?p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D．
3．(2019·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b
0，Q>0，R>0.
5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( D )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
[解析] 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，由
得，
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，
即△A2B2C2是钝角三角形，故选D．
6．若m、n∈N*，则“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0?或，不难看出a>b?/ am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman?/ a>b.
二、填空题
7．命题“a，b是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明该命题时应假设a≠－1或b≠－1.
[解析] a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1或b≠－1.
8．下列命题适合用反证法证明的是①②③④.
①已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x>0，y>0且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
[解析] ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.
三、解答题
9．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[解析] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
10．(2019·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
[解析] 假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( C )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C．
2．(2019·龙岩期中)“已知函数f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( B )
A．假设|f(1)|≥且|f(2)|≥
B．假设|f(x)|<且|f(2)|<
C．假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于
D．假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于
[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
假设|f(1)|＜且|f(2)|＜，故选B．
二、填空题
3．(2019·嘉峪关校级期中)已知x，y∈R且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x≤1且y≤1.
[解析] ∵x，y中至少有一个大于1，
∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，
故答案为x≤1且y≤1.
4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且只有一条直线与l，m都垂直.
[解析] 过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线．
三、解答题
5．如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．
[证明] 假设点M在线段CD上，则BDAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
6．设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立．
[证明] 假设不存在x∈[－1,1]使|f(x)|≥.
则对于x∈[－1,1]上任意x，都有－1，
f(x)在x∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴?b>－与b<－2矛盾．
∴假设不成立，因此当b<－2时在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立．
课件42张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法自主预习学案
国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．矛盾 错误 成立 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C．C2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
[解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D．D3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数
C．至少有一个正数 D．两个都是负数
[解析] 假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C．C4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_______________ ______________________________.
[解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角至多有一个钝角”．存在一个三角形， 其外角至多有一个钝角 互动探究学案 (1)(2019·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，假设的内容是( )
A．a3＝b3 B．a3C．a3≤b3 D．a3①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________.
[解析] (1)假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”，故选C．
(2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．③①② 『规律总结』 1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法．
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法．
(3)注意否定结论时，要准确无误． 已知a，b，c都是小于2的正数，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.
[思路分析] 本题为“至少、至多”型问题，反设其结论，容易导出矛盾，故用反证法证明．命题方向2 ?用反证法证明“至多”“至少”型命题典例 2 『规律总结』 1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
〔跟踪练习2〕
求下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围． 已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[思路分析] 命题方向3 ?用反证法证明存在性、唯一性命题典例 3 『规律总结』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．〔跟踪练习3〕
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[解析] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，
即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．适宜运用反证法证明的命题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．典例 4 [解析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得：
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．『规律总结』 1.反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的.〔跟踪练习4〕
证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称． 已知实数k满足2k2＋3k＋1<0，运用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－k2＝0没有实数根．
[错因分析] 证明过程中，虽然对命题的结论进行了反设，但是在后面的推理过程中，没有将这一“反设”作为条件进行推理，因此证明过程就不是利用反证法进行的，是错误的．反证法证明过程中漏用反设导致错误典例 5 1．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
[解析] “a>b”的对立面为“a≤b”．B2．“实数a，b，c不全为0”等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
[解析] “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．D3．(2019·龙岩期中)用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是( )
A．a，b都能被2整除 B．a，b都不能被2整除
C．a，b不都能被2整除 D．a不能被2整除
[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被2整除，那么a，b至少有1个能被2整除．”的否定是“a，b都不能被2整除”．
故选B．B4．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[解析] 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0且c＋d＝0且a－d＝0且b＋c＝0，所以a＝b＝c＝d＝0与ad－bc＝1矛盾．
所以假设不成立，原结论成立．课时作业学案