第二章 2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )
A．必须运用假设
B．可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[解析] 由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
2．(2019·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( A )
A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k
C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
[解析] 假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．
当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k
＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k
＝5(5k－2k)＋3×2k，
故选A．
3．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( D )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．
对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．
对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．
对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D．
5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( C )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C．
6．(2019·杏花岭区校级期中)等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)( B )
A．n为任何正整数都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
[解析] 当n＝1时，左边＝1，右边＝1，成立；
当n＝2时，左边＝1＋4＝5，右边＝5，成立；
当n＝3时，左边＝1＋4＋9＝14，右边＝14，成立；
当n＝4时，左边＝1＋4＋9＋16＝30，右边＝28，不成立；
当n＝5时，左边＝1＋4＋9＋16＋25＝55，右边＝47，不成立；
故选B．
二、填空题
7．(2019·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：③(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，
可得P(n)对n＝9不成立，
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．
故答案为③.
8．观察下列等式，照此规律，第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
[解析] 将原等式变形如下：
1＝1＝12
2＋3＋4＝9＝32
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72
…
由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，
故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
三、解答题
9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析] 由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，
b4＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
10．(2019·汉阳期中)已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x))．
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．
[解析] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N*)
(2)下面用数学归纳法证明，
fn(x)＝(n∈N*)
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]
＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想( D )
A．n≥1时，2n>n2 B．n≥3时，2n>n2
C．n≥4时，2n>n2 D．n≥5时，2n>n2
[解析] 当n＝1时，21>12，即2n>n2；
当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；
当n＝3时，23<32，即2n当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；
当n＝5时，25>52，即2n>n2；
当n＝6时，26>62，即2n>n2；
…
猜想当n≥5时，2n>n2；
下面我们用数学归纳法证明猜测成立，
(1)当n＝5时，由以上可知猜想成立，
(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2k>k2，
当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，命题成立，
由(1)和(2)可得n≥5时，2n>n2；
故当n＝2或4时，2n＝n2；n＝3时，2nn2.故选D．
2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( A )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
二、填空题
3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立.
[解析] ∵n∈N*，
∴第一步的验证为n＝1的情形．
当n＝1时，左≥右，不等式成立．
4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝5.
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝2时，310＋35不能被14整除，
故a＝5.
三、解答题
5．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明] (1)n＝1时，一条直线相交把平面分成2个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
6．(1)用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[解析] (1)①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．
(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
课件44张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法自主预习学案
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取______________________时命题成立．
②(归纳递推)假设____________________________，证明______________ _______________________.第一个值n0(n0∈N*) n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立 当n＝k＋1时命题 也成立 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C．CB B 互动探究学案 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[思路分析] 按照数学归纳法证题的步骤进行证明．命题方向1 ?用数学归纳法证明等式典例 1 『规律总结』 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形.命题方向2 ?用数学归纳法证明不等式典例 2 『规律总结』 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论. 用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.
[思路分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．命题方向3 ?用数学归纳法证明整除问题典例 3 『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p.例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，
所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，
所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1
＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]
＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1
＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，
显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．〔跟踪练习3〕
求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
[证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．
(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，
又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1.
由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．归纳——猜想——证明典例 4 『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；
(2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明． 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．未用归纳假设而致误典例 5 [辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．1．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
[解析] 若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．C2．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为____________________________.
[解析] 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2 3．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1、a2、a3，并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．课时作业学案
