第三章 3.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
[解析] 由题意知：解得a＝－2，故选A．
2．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[解析] 由题意知a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A．
3．(2019·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．以复数－i(x2＋2x>0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点，则该点( B )
A．在圆x2＋y2＝2上
B．在圆x2＋y2＝2外
C．在圆x2＋y2＝2内
D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定
[解析] 因为以复数－i(x2＋2x>0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为 (，－)．又＋x2＋2x＝(x＋1)2＋>2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B．
5．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( B )
A．2kπ－ B．2kπ＋
C．2kπ± D．＋(以上k∈Z)
[解析] 由得
(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
6．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为( A )
A．0 B．－1
C．－ D．
[解析] 由z1>z2，得
即
解得a＝0.
二、填空题
7．(2019·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝1.
[解析] ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1.
故答案为1.
8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2.
[解析] ∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，
故a＝2.
三、解答题
9．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.
10．(2019·会宁期中)设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由
?，得m＝3.
(2)当复数对应的点在第二象限时，
由?，
得－1＜m＜3.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( D )
A．－7≤λ≤ B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7
[解析] 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ
＝4(sinθ－)2－.
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7.
2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－)的值为( A )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
[解析] 因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即
因为sinθ＝且cosθ≠，
所以cosθ＝－，所以tanθ＝－，
所以tan(θ－)＝＝＝－7.
二、填空题
3．设i是虚数单位，a为实数，若复数a＋3－i是纯虚数，则a＝－3.
[解析] a为实数，若复数a＋3－i是纯虚数，
则a＋3＝0，解得a＝－3.
故答案为－3.
4．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为4.
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4.
三、解答题
5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立．
6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
[解析] 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2.
课件46张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数．复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来．复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质．它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具．随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论．
学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用.3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充与复数的概念自主预习学案
1．数系扩充的脉络、原则
脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→________
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：
(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；
(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)________适用；
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系________；
(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．复数系 依然 保持不变 －1 实部 虚部 复数集 a＝c且b＝d a＝0且b＝0 必要不充分 b＝0 b≠0 C 2．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________.
[解析] 由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.
3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________.1或－3 －3 4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.互动探究学案 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3命题方向1 ?复数的概念B典例 1 『规律总结』 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．〔跟踪练习1〕
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是________.
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．③命题方向2 ?复数的分类及其应用典例 2 『规律总结』 利用复数的分类求参数的方法及注意事项．
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0. 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[思路分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．命题方向3 ?复数相等的条件典例 3 『规律总结』 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.〔跟踪练习3〕
(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为________.C－1 根据复数的大小求参数的值典例 4 『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．〔跟踪练习4〕
(1)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，则k＝________.
(2)若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案．对复数相关概念的理解不清致误典例 5 2．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________.－1 课时作业学案
