第三章 3.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( C )
A．z＝－1＋i B．z＝1＋i
C．z＋i是实数 D．z＋i是纯虚数
[解析] ∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，
∴z＝1－i.
∴z＋i＝1－i＋i＝1，
∴z＋i是实数．
故选C．
2．已知0
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
[解析] |z|2＝a2＋1，∵03．(2019·陕西三模)在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( A )
A．－C．0[解析] ∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，
∴，解得－故选A．
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( C )
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i
[解析] 向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，
∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i，又＝，
∴对应复数为1＋i.故选C．
5．向量＝(，1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为( B )
A．－＋i B．2i
C．1＋i D．－1＋i
[解析] 向量＝(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝＝，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又||＝2，所以旋转后对应的复数为2i，故选B．
6．(2019·烟台高二检测)过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( D )
A． B．－
C． D．
[解析] －i在复平面对应的点为(，－1)，
∴倾斜角的斜率为k＝－，∴倾斜角为－或π.
又∵倾斜角范围为[0，π]，∴倾斜角为 π，故选D．
二、填空题
7．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝－2＋3i.
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．
∴z2＝－2＋3i.
8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为5.
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.
三、解答题
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
[解析] 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
B级 素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( C )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．下列命题中，假命题是( D )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
二、填空题
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是5.
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5.
4．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为.
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
5．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－，m)．
又a，b的夹角为60°，所以cos60°
＝，
即＝，解得m＝±.
6．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知
∴①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
课件43张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义自主预习学案18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768—1822)注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．
高斯不仅将复数a＋bi表示为复平面的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法，这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的________和________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是________关系．
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是________，不是(a，bi)．实轴 虚轴 原点 实部 虚部 一一对应 (a，b) 以原点为始点 Z(a，b) 距离 1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．B2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. C3．复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限B4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2A互动探究学案 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上．
[思路分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)．命题方向1 ?复数与复平面内点的关系典例 1 『规律总结』 1.复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).〔跟踪练习1〕
(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)(2019·全国Ⅱ卷理，2改编)设z＝－3＋2i，则在复平面内z＋2－3i对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限CC[解析] (1)由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．
(2)z＋2－3i＝－3＋2i＋2－3i＝＝－1－i，故z＋2－3i对应的点(－1，－1)位于第三象限．故选C．命题方向2 ?复数与复平面内向量的对应典例 2
〔跟踪练习2〕
(2019·广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i.
(1)求点D对应的复数；
(2)求△ABC的边BC上的高． 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.命题方向3 ?复数模的计算典例 3 『规律总结』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．利用复数的几何意义解题 已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知复数及其模的范围；
②求复数虚部的取值范围．
解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．典例 4 『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．〔跟踪练习4〕
已知复数z1＝2－2i，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值． 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解] A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．混淆复数的模与实数的绝对值致误典例 5 [点评] 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离，因此|z|≥0.z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移．A 2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|D(x－2)2＋y2＝8 4．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝i，求z1，z2的值．课时作业学案