第三章 3.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数??x＝1，故选A．
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( A )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．
4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝( B )
A．－1＋2i B．－2－2i
C．1＋2i D．1－2i
[解析] ＝(－2，－1)，＝(0,1)，
∴z1＝－2－i，z2＝i，
∴z1－z2＝－2－2i.
6．□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
二、填空题
7．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为或.
[解析] 方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
8．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为.
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( C )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
[解析] 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得?a＝－2.
2．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
二、填空题
3．(2019·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为－4.
[解析] 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为2.
[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
三、解答题
5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以，解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝.
所以sinB＝.
所以S＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
6．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
课件44张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义自主预习学案
1．复数的加法与减法
(1)复数的加法与减法运算法则
设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________，(a＋bi)－(c＋di)＝________________，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别________，其结果仍然是一个________.
(2)复数加法的运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 相加(减) 复数 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.BD 3．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( )
A．2－i B．5i
C．－4－3i D．2－i,5i或－4－3iA互动探究学案 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则实数a＝( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1命题方向1 ?复数的代数形式的加减运算C典例 1 [思路分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．『规律总结』 复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
提醒：注意运算格式及范围，避免出错
(1)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差．注意中间用“＋”号，如z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z1－z2＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加.D 命题方向2 ?复数加减法及复数模的几何意义典例 2 [思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧：
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．综合应用典例 3 『规律总结』 求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．〔跟踪练习3〕
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.[0,3] 已知：复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．复数代数形式的几何意义典例 4 [辨析] 四个点A，B，C，D构成平行四边形，并不仅有□ABCD一种情况，应该还有□ABDC和□ACBD两种情况．[点评] 审题要细致，考虑问题要全面，本题中只说四个点A，B，C，D构成平行四边形，并没有限定是□ABCD，不要犯思维定势错误．1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有( )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，因为z1－z2是纯虚数，所以a－c＝0且b－d≠0.A2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )
A．－2b－2bi B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi D．－2a－2ai
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i
＝－2b－2bi.AC 4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，点(2,5)在第一象限．AA 课时作业学案
