第一章 1.2 1.2.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( C )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
[解析] 符合题意的商有A＝4×3＝12．
2．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( C )
A．2 B．4
C．12 D．24
[解析] 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A＝12．
3．(2018·东安区校级期末)＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＝＝＝＝．
故选D．
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为( A )
A．30种 B．15种
C．81种 D．36种
[解析] 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A．
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( B )
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A－A＝186(种)，选B．
6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( C )
A．A种 B．A种
C．AA种 D．2A种
[解析] 安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．
二、填空题
7．(2018·天津模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有__120__个．
[解析] 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有AA＝144个，
4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2AA＝24个，
∴所求六位数共有120个．故答案为120．
8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答)．
[解析] A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占，∴排法有A＝480．
9．(2018·烟台一模)上合组织峰会将于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__8__．
[解析] 根据题意，分2种情况讨论：
①A，B在一组，C，D，E都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A＝2种分配方法；
②C，D，E中取出1人，与A、B一组，剩下2一组，再将两组全排列，对应两个地点，
有3A＝6种分配方法；
故一共有2＋6＝8种分配方法．
故答案为8．
三、解答题
10．(2018·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的三位数？
[解析] (1)三位数的每位上数字均为
1,2,3,4,5,6之一．
第一步，得首位数字，有6种不同结果，
第二步，得十位数字，有5种不同结果，
第三步，得个位数字，有4种不同结果，
故可得各位数字互不相同的三位数有
6×5×4＝120(个)．
(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．
B级 素养提升
一、选择题
1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为( B )
A．43 B．72
C．86 D．90
[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有A＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有AA＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A＋AA＝72．
2．(2018·通渭县校级期中)若A＝2A，则m的值为( A )
A．5 B．3
C．6 D．7
[解析] 根据题意，若A ＝2A，
则有m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，
即(m－3)(m－4)＝2，解可得：m＝5；故选A．
二、填空题
3．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有__5760__种．
[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5760(种)．
三、解答题
4．求和：＋＋＋…＋．
[解析] ∵＝＝－＝－，
∴原式＝＋＋＋…＋＝1－．
5．(2019·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？
[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有
1＋2＋3＋4＋5＝15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，
百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，
百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．
课件44张PPT。第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第1课时 排 列(一)自主预习学案2019年教师节，习近平主席来到北师大视察，听完一节课后与老师们座谈．有12位教师参加，面对习主席坐成一排．
问：这12位教师的坐法共有多少种？1．排列、排列数与排列数公式按照一定的顺序排成一列 所有排列的个数 n(n－1)…(n－m＋1) 全部取出 连乘积 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 ( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
[解析] 每个同学有2种报名方式，5个同学全完成，这件事情才算完成．按照乘法计数原理，共有25＝32种报名方法．D 2．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 ( )
A．6种 B．10种
C．8种 D．16种B
[解析] 记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有
其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式，共有10种传球方式．3．用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的四位数的个数是______个．
[解析] 分两步，第一步排首位共4种不同排法，第二步排余下的三位共有A＝24种不同排法，由分步乘法计数原理得共组成无重复数字的四位数4×24＝96个．96 8 互动探究学案命题方向1 ?排列的概念 下列问题是排列问题吗？说明你的理由．
(1)从1、2、3三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1、2、3、5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？典例 1(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人，又有多少种方法？[思路分析] 判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．『规律总结』 确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
〔跟踪练习1〕
下列问题是排列问题吗？
(1)从5个人中选取两个人去完成某项工作．
(2)从5个人中选取两个人担任正、副组长．
[解析] (1)不是 甲和乙去，与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．
(2)是 甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同选法．命题方向2 ?简单的排列问题 写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？典例 2[解析] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A、B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．『规律总结』 对简单的没有限制条件的排列问题，在分清元素和位置的情况下，直接用排列公式进行计算．〔跟踪练习2〕
从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
[解析] (1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210, 213,230, 231,301,302, 310,312,320,321．(2)直接画出树形图
由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312． 命题方向3 ?排列数公式典例 3[思路分析] (1)用排列数公式的定义解答即可；(2)直接用排列数公式计算；(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解，要注意x的取值范围，并检验根是否合理．『规律总结』 应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．排列数公式的应用技巧 (1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样做往往能减少运算量．典例 4[思路分析] 利用排列数公式，把A形式的方程或不等式转化为关于某个未知量的方程或不等式求解．『规律总结』 在应用排列数公式A时要注意隐含条件m≤n，且m，n∈N*.如本例中应有x≥3且x∈N*．[思路分析] 由于等式左、右两边的排列数上标、下标均为字母，不宜使用排列数的第一个公式，可以用第二个公式展开、化简或用模型法证明．『规律总结』 本题解法二是充分利用排列的定义及对某一特定元素的正确处理来解决的，解法新颖独到，显示了构造法的魅力．忽视排列数公式的隐含条件致误 典例 51．下列问题是排列问题的是 ( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
[解析] 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关，所以选B．B D 3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是 ( )
A．8 B．12
C．16 D．24B
4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．
[解析] 因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A－1＝23．
23 5．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．[解析] 树形图为(如图)：
由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．课 时 作 业 学 案第一章 1.2 1.2.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( B )
A．18 B．36
C．48 D．60
[解析] 甲在排头或排尾站法有A种，再让乙在中间3个位置选一个，有A种站法，其余3人有A种站法，故共有A·A·A＝36种站法．
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( C )
A．504种 B．960种
C．1008种 D．1108种
[解析] 甲、乙相邻的所有方案有AA＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：AA＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有AA＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C．
3．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( D )
A．A种 B．2AA种
C．8A种 D．9A种
[解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．
4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
[解析] 分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( A )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
[解析] 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙有A种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
6．(2019·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( C )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
[解析] 根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，
则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A＝2种结果，
又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，
同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，
共有AA＝48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，
故选C．
二、填空题
7．(2018·和平区高三)现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__480__．
[解析] 假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置，有A＝120种情况，故不同排列方法种数4×120＝480种．
故答案为480．
8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．
[解析] 先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
9．2019年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)
[解析] 将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A＝24种．
三、解答题
10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
[解析] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14400种．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A－AA)＝37440种．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·濮阳三模)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( D )
A．240种 B．188种
C．156种 D．120种
[解析] 根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：
①A排在第一位，
任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A＝6种安排方法，
则此时有4×2×6＝48种安排方案；
②A排在第二位，
任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A＝6种安排方法，
则此时有3×2×6＝36种安排方案；
③A排在第三位，
任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，
将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A＝6种安排方法，
则此时有3×2×6＝36种安排方案；
则符合题意要求的安排方案有36＋36＋48＝120种；
故选D．
2．某地为了迎接2019年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( C )
A．1205秒 B．1200秒
C．1195秒 D．1190秒
[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1195秒．
二、填空题
3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．
[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A－AA＝576．
4．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是____．
[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A×2×2×2＝48种，故所求概率P＝＝．
三、解答题
5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．
(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，
故共有A·A＝96(个)．
解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，
故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A，其余任排有A，故有2A·A种．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A，所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
6．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
[解析] (1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法，由分步乘法计数乘法原理，有AA＝720种不同排法．
(2)先将男生排好，共有A种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方案，故符合条件的排法共有AA＝1440种不同排法．
(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有A·A＝144种．
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A种排法．这样，总共有AAA＝960种不同排法．
(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A＝840种不同排法．
课件43张PPT。第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时 排列(二)自主预习学案2019年7月1日是中国共产党成立97周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛．那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．
n m m－1 m m－1 m 2．有限制条件的排列问题
①直接法：以元素为考察对象，先满足________元素的要求，再考虑________元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足________位置的要求，再考虑________位置(又称位置分析法)．
②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去____________的排列数．
③相邻元素________法，相离问题________法，定元、定位__________法，至多、至少________法，定序元素__________法．特殊 一般 特殊 一般 不合要求 捆绑 插空 优先排 间接 最后排 1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有 ( )
A．70 B．72
C．36 D．12
[解析] 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，共有AA＝36种排法．C 2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 ( )
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个B 3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_______种．192 4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站；
(4)老师不站中间，女生不站两端. 互动探究学案命题方向1 ?元素相邻问题 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 ( )
A．720种 B．360种
C．240种 D．120种典例 1C 『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路
实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．
2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．〔跟踪练习1〕
记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 ( )
A．1440种 B．960种
C．720种 D．480种B 命题方向2 ?元素不相邻问题 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？典例 2『规律总结』 不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．〔跟踪练习2〕
4名男生和4名女生站成一排
①男生不相邻的站法有________种．
②女生不相邻的站法有________种．
③男、女生相间的站法有________种．(可不必计算出数值)2880 2880 1152 命题方向3 ?定位定元问题 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．
典例 3
[思路分析] (1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．
(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排法，再排其他人．
(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．
用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．『规律总结』 有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．
1．至多、至少间接法
当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．
①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．
②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．
〔跟踪练习3〕
7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法．排列与其他知识相交汇 排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目． 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b)，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．典例 4『规律总结』 解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．〔跟踪练习4〕
某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？排列的综合应用 4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 ( )
A．12种 B．14种
C．16种 D．24种典例 51．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( )
A．36 B．30
C．40 D．60A
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )
A．144 B．120
C．72 D．24D 3．(2019·江西省樟树中学)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为 ( )
A．12 B．24
C．36 D．48D 4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是______．40 课 时 作 业 学 案
