第一章 1.2 1.2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．由C＋C可得不相同的值的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵，∴7≤x≤9，
又x∈Z，∴x＝7,8,9．
当x＝7时，C＋C＝46；当x＝8时，C＋C＝20；
当x＝9时，C＋C＝46．
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，基本事件共有C＝10个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD共4个，
∴P＝1－＝．
3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( C )
A．120种 B．84种
C．52种 D．48种
[解析] 间接法：C－C＝52种．
4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( A )
A．220个 B．210个
C．200个 D．1320个
[解析] C＝220，故选A．
5．(2018·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( D )
A．A种 B．45种
C．54种 D．C种
[解析] 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种．
6．(2018·佛山高二检测)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( B )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
[解析] 由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．
二、填空题
7．(2018·遂宁市高二)如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有__80__种．
[解析] 分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C＝20种；第三步D→B最近走法有2种，
故由A→B最近走法有2×20×2＝80种．
故答案为80．
8．已知C，C，C成等差数列，则C＝__91__．
[解析] ∵C，C，C成等差数列，∴2C＝C＋C，
∴2×＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，
则C＝C＝91．
9．对所有满足1≤m[解析] ∵1≤m三、解答题
10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？
[解析] (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C＝＝45(条)，
即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有
A＝10×9＝90(条)，
即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝120(个)．
B级 素养提升
一、选择题
1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 从袋中任取 2个球共有 C＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为P＝＝，故选B．
2．(2018·合肥三模)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有( C )
A．24 B．48
C．96 D．120
[解析] 第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2＝24种，
第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，
当B和D不同时，B，C只有一种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72种，
根据分类计数原理可得，共有24＋72＝96种，
故选C．
二、填空题
3．形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为__16__个．
[解析] 依题意知，十位和千位数字只能是4,5或3,5，若十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3，这样的数有A·A＝12(个)；若十位和千位排5,3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列，这样的数有AA＝4(个)，综上，共有16个．
4．若－<，则n的取值集合为__{5,6,7,8,9,10,11}__．
[解析] 由－
<，
可得n2－11n－12<0，解得－1又n∈N＋，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}．
三、解答题
5．(2018·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地．
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
[解析] (1)利用分步乘法计数原理得CC＝60种．
(2)利用分类加法与分步乘法计数原理CC＋CC＋CC＋CC＝121种．
6．已知，试求x和n的值．
[解析] 由C＝C得x＝2x或x＋2x＝n，
即x＝0或n＝3x，
显然x＝0时C无意义，
把n＝3x代入C＝C得C＝C，即
＝·
∴＝，解得x＝5.∴n＝15．
课件40张PPT。第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第1课时 组 合(一)自主预习学案
一组 所有组合 1 1．下面几个问题是组合问题的有 ( )
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？
③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
A．①② B．①③④
C．②③④ D．①②③④C
[解析] ①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组合问题，故选C．
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有____________种不同选法． ( )
A．504 B．729
C．84 D．27C C C 互动探究学案命题方向1 ?组合概念的理解与应用 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？典例 1[思路分析] 观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题．
『规律总结』 1.组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
2．只要两个组合的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．〔跟踪练习1〕
下列四个问题中，属于组合问题的是 ( )
A．从3个不同小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．将3张不同的电影票分组10人中的3人，每人1张
[解析] 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题．C 命题方向2 ?组合数公式典例 2[思路分析] (1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，再利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．
命题方向3 ?组合数性质的应用典例 3C [思路分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．
含组合数的化简、证明或解方程、不等式的问题 典例 4『规律总结』 1.根据有关公式把已知中给出的不等式转化为代数不等式且把握好未知数的取值范围．
2．充分利用组合数公式及其性质解题，并注意有关限制条件．忽视组合数中参数的限制条件致误 典例 5[辨析] 运用组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制．1．下列问题不是组合问题的是 ( )
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？D
[解析] 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D．A B {6,7,8,9} 5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生；
(2)既有内科医生，又有外科医生．课 时 作 业 学 案第一章 1.2 1.2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )
A．CA B．CA
C．CA D．CA
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有CA种排法．
2．(2018·山西一模)某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有( B )
A．6种 B．12种
C．18种 D．24种
[解析] 根据题意，分3步分析：
①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C＝4种情况，
②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C＝3种情况，
③，剩下的2人负责拖地，有1种情况，
则有4×3＝12种不同的分工；
故选B．
3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( A )
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个
[解析] 先选取3个不同的数有C种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．
4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C种方法．第二类，3本集邮册全取 ，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C种方法，∴共有C＋C＝10种赠送方法．
5．(2018·浙江卷，16)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．( D )
A．720 B．560
C．540 D．1260
[解析] 不含有0的四位数有C×C×A＝720(个)．
含有0的四位数有C×C×C×A＝540(个)．
综上，四位数的个数为720＋540＝1260．
6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( A )
A
B
C
D
A．72种 B．48种
C．24种 D．12种
[解析] 解法一：(1)4种颜色全用时，有A＝24种不同涂色方法．
(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．
解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．
二、填空题
7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有__60__种．
[解析] 对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．
∴不同排法有A＝60种．
8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答)．
[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C＋C＋C＋C＝112．
9．(2018·浙江模拟)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工全部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__36__种(用数字作答)．
[解析] 根据题意，分2步分析：
①，将4名水暖工分成3组，有C＝6种分组方法，
②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有A＝6种分配方法，
则有6×6＝36种不同的分配方案；
故答案为36．
三、解答题
10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．
[解析] (1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C＝20种．
(2)第一步从7人中选取6人，有C种选法；第二步从6人中选2人排一列有C种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C·C·C＝630种．
B级 素养提升
一、选择题
1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 从18人中任选3人，有C种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形，∴所求概率P＝＝．
2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D )
A．120 B．119
C．110 D．109
[解析] 5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A种，其中3个号码一致的坐法有C种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A－C－1＝109．
二、填空题
3．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__.(注：用数字作答)
[解析] 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2AA＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．
4．将数字1、2、3、4、5、6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1[解析] 由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60(或CA＝60)，剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4(或CA＝4)，由分步乘法计数原理知满足条件的排法的种数是240．
三、解答题
5．(2019·泰州高二检测)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
[解析] (1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120种选法．
(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．
解法二：(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C；故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？
(2)四个盒都不空的放法有多少种？
(3)恰有一个空盒的放法有多少种？
(4)恰有两个空盒的放法有多少种？
(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
[解析] (1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．
(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A＝24种．
(3)由题意知，必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C·C·A＝144种．
(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C·(＋C·C)·A＝84种．
(5)分三类放法．
第一类：甲球放入1号盒子，即
1
2
3
4
甲
，则乙球有3种放法(可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42种放法．故此类放法的种数是3×42；
第二类：甲球放入2号盒子，即
1
2
3
4
甲
，则乙球有2种放法(可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法．故此类放法的种数是2×42；
第三类：甲球放入3号盒子，即
1
2
3
4
甲
，则乙球只有1种放法(放入4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法，故此类放法的种数是1×42．
综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．
课件59张PPT。第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第2课时 组合(二)自主预习学案
如果你买的一注彩票与这7个数码全部一样(不管顺序)就中特等奖，如果6个一样就中一等奖，以此类推．有人想，这么高的奖金为何不全部买下来呢？问题是，如果全部买下来需要买多少注呢？每注两元，一共要花多少钱呢？这样的问题如何计算呢？它需要用到什么数学知识呢？这是一个组合计数问题，如何利用组合数公式来解决此问题呢？1．有限制条件的组合问题
(1)解答组合应用题的总体思路
①整体分类
对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于________，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于________，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．
全集 空集
②局部分步
整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的__________.计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理．
③考查顺序
区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用________解答，有序的问题属________问题．
不重复 组合 排列
④辩证地看待“元素”与“位置”
排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．
⑤把实际问题抽象成组合模型
认真审题，把握问题的本质特征，抽象概括出常规的数学模型．
(2)解答组合应用题的思想方法
①一一对应的思想．
②特殊到一般的归纳推理方法．
③正难则反的转化与化归思想．
④“含”与“不含”某元素的分类讨论思想．
2．解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．1．现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为 ( )
A．232种 B．252种
C．256种 D．472种D 2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )
A．14 B．24
C．28 D．48A 3．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行．
(1)它们共能构成________个平行四边形；
(2)共有______个交点．1260 80 4．某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，不同的选派方法有_______种．185 互动探究学案命题方向1 ?简单的组合问题 从4名男生，3名女生中选出3名代表．
(1)不同的选法共有多少种？
(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
(3)代表中男、女都要有的不同选法共有多少种？
[思路分析] (1)不受限制，从7人中任意选3人，按组合定义计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即1男2女或2男1女，可分类求解，也可间接求解．典例 1『规律总结』 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．命题方向2 ?有限制条件的组合问题 (1)(2019·江西南昌模拟)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有______种．
(2)(2018·山东济南模拟)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有______种．典例 274 64
[思路分析] (1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生．也可用间接法，用总的选法数减去全部是男生的选法数．(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没有任何两个人是夫妻．第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻．在每一类中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确定具体的人来介绍子女的教育情况．也可以采用间接法，用总的选法数减去4位家长有2对夫妻的选法数．
『规律总结』 常见的限制条件及解题方法
(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．〔跟踪练习2〕
高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
[思路分析] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．命题方向3 ?与几何有关的组合问题典例 3『规律总结』 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象组合问题来解决．〔跟踪练习3〕
(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．命题方向4 ?组合应用中分组分配问题
角度1：不同元素分组、分配问题 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．典例 4『规律总结』 分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．〔跟踪练习4〕
按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6人；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．角度2：相同元素分配问题
6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．典例 5『规律总结』 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．〔跟踪练习5〕
将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内球数不少于它的编号数，有多少种放法？排列与组合的综合应用 排列与组合的综合应用题的背景丰富、情境陌生，无特定模式和规律可循．因此，必须认真审题，把握其本质特征，化归为排列组合的常规模型来求解，其一般解法是：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按元素的性质分类或按事情的发生过程分步．
解排列组合题的“16字方针，12个技巧”．
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合．
(2)“12个技巧”是解排列组合题的捷径，即：
①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；
⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；
⑨至少(或至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；
?局部与整体问题排除法； ?复杂问题转化法． 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( )
A．300种 B．240种
C．144种 D．96种典例 6B 〔跟踪练习6〕
有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？要正确区分分堆与分配问题 有12本不同的书，分成4堆．
(1)若每堆3本，有几种方法？
(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)典例 61．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 ( )
A．48 B．54
C．72 D．84C 2．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为 ( )
A．208
B．204
C．200
D．196C 3．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有 ( )
A．24种 B．36种
C．38种 D．108种B 4．2019年3月10日是第十四届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有 ______种(用数字作答)．90 课 时 作 业 学 案
