第一章 1.3 1.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．在(x－)10的二项展开式中，x4的系数为( C )
A．－120 B．120
C．－15 D．15
[解析] Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)r·Cx10－2r
令10－2r＝4，则r＝3．
∴x4的系数为(－)3C＝－15．
2．(2018·全国卷Ⅲ理，5)5的展开式中x4的系数为( C )
A．10 B．20
C．40 D．80
[解析] 5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40．
故选C．
3．若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( C )
A．6 B．10
C．12 D．15
[解析] ∵T5＝C()n－4·(－)4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12．
4．(湖南高考)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( A )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
[解析] 展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr．
当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A．
5．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得
C·35＝C·36，
即
＝3×(n≥6)，
得n＝7．
6．(2018·凉山州模拟)(1－x)(1＋x)5展开式中x项的系数是( A )
A．4 B．6
C．8 D．12
[解析] (1－x)(1＋x)5展开式中x项的系数：
二项式(1＋x)5由通项公式Tr＋1＝Cxr
当(1－x)提供常数项时：r＝1，此时x项的系数是C＝5，
当(1－x)提供一个x时：r＝0，此时x项的系数是－1×C＝－1
合并可得(1－x)(1＋x)5展开式中x项的系数为4．
故选A．
二、填空题
7．(2018·河南二模)(x2＋－2)n展式中的常数项是70，则n＝__4__．
[解析] ∵(x2＋－2)n＝(x－)2n的展式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x2n－2r，
令2n－2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为(－1)n·C＝70，
求得n＝4.故答案为4．
8．设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于__－160__．
[解析] a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160．
9．(2018·天津理，10)在5的展开式中，x2的系数为____．
[解析] 5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－rr·x－＝rCx5－.令5－＝2，解得r＝2.故展开式中x2的系数为2C＝．
三、解答题
10．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
[解析] (1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，
∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1120．
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2．
B级 素养提升
一、选择题
1．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是( C )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[解析] (1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)·(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C×(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2．
2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( A )
A．＜x＜ B．＜x＜
C．＜x＜ D．＜x＜
[解析] 由得
∴＜x＜．
二、填空题
3．(2018·潍坊一模)(1＋x)(1－2)5展开式中x2的系数为__120__. (用数字填写答案)
[解析] ∵(1－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·15－r·(－2)r＝(－2)r·C·x，
取＝2，得r＝4，取＝1，得r＝2，
∴(1＋x)(1－2)5展开式中x2的系数为(－2)4·C＋(－2)2·C＝80＋40＝120．
故答案为120．
4．若x>0，设(＋)5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为____．
[解析] T3＝C·()3()2＝x，
T4＝C·()2·()3＝，
∴M＋N＝＋≥2＝．
三、解答题
5．(2019·抚顺市六校)已知(－)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1．
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项．
[解析] 由题意知，第五项系数为C(－2)4，第三项的系数为C(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1．
(2)通项公式Tr＋1＝C()8－r(－)r
＝C(－2)rx－2r，令－2r＝，得r＝1，
故展开式中含x的项为T2＝－16x．
6．(2019·金华高二检测)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，
(1)试求f(x)的展开式中的x2的系数的最小值；
(2)对于使f(x)的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(3)利用(1)中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)
[解析] (1)根据题意得：C＋C＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C＋C＝＋＝．
将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－)2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9．
(2)当m＝3、n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4、n＝3时，x3的系数为C＋C＝5．
(3)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02．
课件41张PPT。第一章计数原理1.3 二项式定理1. 3.1 二项式定理自主预习学案
二项式定理及相关的概念(n∈N＋) r＋1 D B 3．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为______.(用数字作答)60 －10 互动探究学案命题方向1 ?求二项展开式中特定的项典例 1『规律总结』 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
特别提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．[思路分析] 首先由第6项为常数求项数n，再根据通项公式求x2项的系数和有理项．命题方向2 ?二项式定理的正用和逆用典例 2x5－1 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．命题方向3 ?二项式系数与项的系数问题典例 3[思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
〔跟踪练习3〕
(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是_________．－120 用二项式定理处理整除性问题或求余数问题 (1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋3，即199510＝(8×249＋3)10，它的展开式中除末项310外，其余各项均含有8这个因数，故199510被8除的余数与310被8除的余数相同，而310＝95＝(8＋1)5，(8＋1)5的展开式中除最末一项1外，其余各项均含有8这个因数，故310被8除的余数为1，从而199510被8除的余数也为1．
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．
(3)要注意余数的取值范围，a＝c·r＋b，b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
(2)求9192被100除所得的余数．典例 4『规律总结』 利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
整除性问题或求余数问题的处理方法：
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．〔跟踪练习4〕
求0.9986的近似值，使误差小于0.001．二项式系数与项的系数问题 典例 5[辨析] 错误原因：将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆．
防范措施：深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别与联系，准确应用．A B C 70 5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．课 时 作 业 学 案
