第一章 1.3 1.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．若(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( C )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
[解析] 令x＝1，得出(3－)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；
∴(3－)8的展开式通项公式为：
Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r
＝(－1)r·38－r·C·x4－r，
令4－r＝0，解得r＝4．
∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．
2．(2018·蚌埠一模)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝( B )
A．18 B．24
C．36 D．56
[解析] 对于等式(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4
＝[1＋(2x－2)]4
＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4．
a2＝C·22＝24．
故选B．
3．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( A )
A．奇数 B．偶数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C
＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－
＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，
∴n＋1为偶数，∴n为奇数．
4．(2018·黄浦区二模)二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有( B )
A．4项 B．7项
C．5项 D．6项
[解析] 二项式(＋)40的展开式的通项为
Tr＋1＝C·()40－r·()r＝C·x．
∵0≤r≤40，且r∈N，
∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．
∴二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选B．
5．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝( C )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] 二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1．
6．(2019·南安高二检测)233除以9的余数是( A )
A．8 B．4
C．2 D．1
[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，
∴233除以9的余数是8.故选A．
二、填空题
7．(2019·天津理，10)8的展开式中的常数项为__28__．
[解析] 8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r．
令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C262＝28．
8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__．
[解析] Tr＋1＝Cx8－r(－)r
＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，
令x＝1得展开式各项系数的和为1或38．
9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝__3__．
[解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3．
三、解答题
10．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
[解析] (1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5．
(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024．
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1．
B级 素养提升
一、选择题
1．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( C )
A．0 B．2
C．7 D．8
[解析] 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7．
2．(2019·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6∫0cosxdx，＝－12，则f(x)的展开式中x4的系数为( B )
A．－240 B．240
C．－60 D．60
[解析] ∵n＝6cosxdx＝6sinx|0＝6，
∴f(x)＝(2x＋a)6，
∴f′(x)＝12(2x＋a)5，
∵＝－12，∴＝－12，∴a＝－1．
∴f(x)＝(2x－1)6．
其展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)rC·26－rx6－r，
令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2C·24＝240，故选B．
二、填空题
3．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝____．
[解析] 观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝．
4．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则
(1)a8＋a7＋…＋a1＝__255__；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝__32896__．
[解析] 令x＝0，得a0＝1．
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255．
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32896．
三、解答题
5．(2019·江苏卷，22)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4．
(1)求n的值；
(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．
[解析] (1)解：因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，n∈N*，
所以a2＝C＝，a3＝C＝，
a4＝C＝．
因为a＝2a2a4，
所以2
＝2××．
解得n＝5．
(2)解：由(1)知，n＝5．
(1＋)n＝(1＋)5
＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝a＋b．
方法1：
因为a，b∈N*，所以a＝C＋3C＋9C＝76，
b＝C＋3C＋9C＝44，
从而a2－3b2＝762－3×442＝－32．
方法2：
(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5
＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5．
因为a，b∈N*，所以(1－)5＝a－b．
因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32．
6．在二项式(＋)n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)二项式(＋)n的展开式中，前三项系数分别为1，，，
再根据前三项系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)．
故二项式(＋)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·2－r·x4－r．
令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为T5＝C·()4＝．
(2)设第r＋1项的系数最大，则由
，求得2≤r≤3，
因为r∈Z，所以r＝2或r＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T3＝7x2，T4＝7x．
课件48张PPT。第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质自主预习学案
杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．
那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？相等 和 等距离 2n 2n－1 1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于 ( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] 二项式(a＋b)n的展开式中，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．C
2．(2017·全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 ( )
A．－80 B．－40
C．40 D．80C 3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是 ( )
A．56 B．160
C．80 D．180B 96 互动探究学案命题方向1 ?与杨辉三角有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19．
[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和．典例 1『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
〔跟踪练习1〕(1)如图，此数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行第2个数是____________．(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是______．2n－1 32 命题方向2 ?二项展开式的系数和问题 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)各项的二项式系数的和；
(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；
(3)各项系数之和；
(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．典例 2『规律总结』 求展开式的各项系数之和常用赋值法．
“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．〔跟踪练习2〕
(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．命题方向3 ?有关二项式系数和展开式的系数和的问题典例 3[思路分析] 用赋值法求各系数的和．
〔跟踪练习3〕
(2019·深圳高二检测)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
[解析] 令x＝1，则
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①
令x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②(4)解法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093＋1 094＝2187．
解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37
＝2187．杨辉三角的应用(1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规律．如(a＋b)6的展开式中a的指数，由首项的6次逐项下降为0次，b的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a，b的指数和为6，恰好等于二项式的指数．
(2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问题时，往往运用组合数公式． 如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关系，并证明你的结论．典例 4[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论，然后再证明它的一般性．『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用，利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．注意区分项数与项的次数 典例 5[正解] 设f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为A，偶次方项系数和为B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且B－A＝316，
令x＝－1得，f(－1)＝(－3)n
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan
＝(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)
＝B－A＝316＝(－3)16，[点评] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n项，第n项的次数，第n项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．B D [解析] 由题意得2n＝32，得n＝5.令x＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D．D 5．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和．课 时 作 业 学 案
