第二章 2.1 2.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X．
其中是离散型随机变量的是( A )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
2．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( B )
A．X和ξ B．只有Y
C．Y和ξ D．只有ξ
[解析] 某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B．
3．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙，依次试验次数X的最大可能取值为( D )
A．5 B．2
C．3 D．4
[解析] 一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，根据试验规则，试验次数X的最大值为4．
4．某人射击的命中率为p(0
A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…
[解析] 由随机变量的定义知取值可以从1开始，并且有可能每次都未中目标．
5．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( D )
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
[解析] 只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D．
6．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( D )
A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈Z
C．1≤ξ≤6，ξ∈N D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z
[解析] ξ的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，即－5≤ξ≤5，ξ∈Z．
二、填空题
7．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，取后不放回，若抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是__前两次均取得正品，第三次取到次品__．
[解析] 由题意知，当抽取到第3次停止，表示前两次均取到正品，第三次取到次品．
8．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有__21__种．
[解析] 从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C＝21种．
9．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为__－1,0,1,2,3__．
[解析] X＝－1表示甲抢到1题但答错了，若乙两题都答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0时，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错．
X＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
三、解答题
10．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|．
[解析] 因为x，y可能取的值为1,2,3．
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0,1,2,3，
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，
第二次抽到卡片号码为y，
则随机变量ξ取各值的意义为：
ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)．
ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)．
ξ＝2表示(1,2)，(3,2)．
ξ＝3表示(1,3)，(3,1)．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·孝感高二检测)对一批产品逐个进行检验，第一次检验到次品前已检验的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为( D )
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
[解析] 由题意ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测的是一件次品，故选D．
2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回条件下依次抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是( B )
A．5 B．9
C．10 D．25
[解析] ∵ξ表示取出的2个球的号码之和，又1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋3＝6,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋4＝8,4＋5＝9,5＋5＝10，故ξ的所有可能取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9个．
二、填空题
3．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，用(x，y，z)表示取出的三个球编号为x，y，z(x[解析] 从6个球中选出3个球，其中有一个是5号球，其余的2个球是1,2,3,4号球中的任意2个．
∴试验结果构成的集合是{(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}．
4．袋中装有除颜色外，质地、大小完全相同的4个小球，其中1个红球、3个白球，从中任意摸出1个观察颜色，取后不放回，如果是红色，则停止摸球，如果是白色，则继续摸球，直到摸到红球时停止，记停止时的取球次数为ξ，则ξ所有可能取值的集合为__{1,2,3,4}__，ξ＝2的意义为__第一次摸到白球，第二次摸到红球__．
[解析] 袋中共4个球，3白1红，取球后不放回，因此ξ的可能取值为1、2、3、4，即ξ∈{1,2,3,4}，ξ＝2表示第一次摸到白球，第二次摸到红球．
三、解答题
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
[解析] X＝4,5,6,7．
X＝4表示甲胜前4局或乙胜前4局．
X＝5表示甲在前4局中胜3局并胜第5局或乙在前4局中胜3局并胜第5局．
X＝6表示甲在前5局中胜3局并胜第6局或乙在前5局中胜3局并胜第6局．
X＝7表示甲在前6局中胜3局并胜第7局或乙在前6局中胜3局并胜第7局．
6．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ．
[解析] (1)ξ可取0、1、2．
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0、1、2．
(2)ξ可取3、4、5．
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1、2、3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1、2、4或1、3、4或2、3、4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5．
课件37张PPT。第二章随机变量及其分布2019年射箭世锦赛在荷兰赫托根博什举行，一次射箭成功击中十环的可能性究竟有多大？你买过福利彩票吗，七乐彩30个号码选7个，7个全中的机会有多大？在我们的周围现实世界中存在着大量的随机现象，随机现象的不确定性和大量重复试验中的统计规律性就是本章我们重点学习的内容．
学习本章要注意体会随机现象的统计规律性和随机模拟思想，体会概率模型的作用和概率思想的基本特征．2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量自主预习学案
1．一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下________进行；
(2)试验的所有可能结果是____________的，并且不只一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的________，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随着____________变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．
3．________________________的随机变量，称为离散型随机变量．重复 明确可知 一个 试验结果 所有取值可以一一列出 1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 ( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3…
[解析] 依题意知最多取7次一定能取到白球，故选B．
B
2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
[解析] 水位在(0,18]内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．
B
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是____________________．
[解析] 三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．
{6,3,0，－3} 4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．
[解析] 含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．
所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．
X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，
X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，
X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，
X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，
X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，
X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．互动探究学案命题方向1 ?随机变量的概念 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．典例 1[解析] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．『规律总结』 (1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
〔跟踪练习1〕
指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
[解析] (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．
(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．命题方向2 ?随机变量的判定 (2018·山东泰安第一中学检测)有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是 ( )
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
典例 2C [思路分析] 判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
[解析] 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．『规律总结』 判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤
(1)根据题意分析变量是否为随机变量；
(2)求随机变量的值域；
(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．
〔跟踪练习2〕
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)小明回答20道选择题，答对的题数；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；
(4)武汉市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X．
[解析] (1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．离散型随机变量的取值 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．
[思路分析] 明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．典例 3
[解析] (1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
『规律总结』 因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果．还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．〔跟踪练习3〕
写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ．
[解析] (1)ξ的所有可能取值为2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．离散型随机变量的可能取值搞错致误 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．
典例 4[错解] X的可能取值为0,1000,3000,6000．
X＝0表示一关没过；
X＝1000表示只过第一关；
X＝3000表示只过第二关；
X＝6000表示只过第三关．[辨析] ①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；
②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6000元．
[正解] X的可能取值为0,1000,3000,6000．
X＝0表示“第一关就没有通过”；
X＝1000表示“第一关通过，而第二关没有通过”；
X＝3000表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
X＝6000表示“三关都通过”．
[点评] 理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．1．下列变量中，不是随机变量的是 ( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
[解析] 标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．B 2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.故选A．
A
3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________________________．
[解析] 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
300,100，－100，－300
4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是__________________________________．
[解析] 由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．
前3次未击中目标，第4次击中目标
5．同时掷两枚质地均匀的硬币．
(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
(2)X<2和X>0各表示什么？
[解析] (1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2，中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．
用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．课 时 作 业 学 案