第二章 2.1 2.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝．
2．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( C )
A．
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0
B．
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
C．
X
0
1
2
P
－
D．
X
0
1
2
P
lg1
lg2
lg5
[解析] C选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，故C选项不是某个随机变量的分布列．
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( C )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
[解析] 由X<4知X＝1,2,3，
所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＝，解得n＝10．
4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为( C )
X＝i
0
1
2
3
P(X＝i)
a
b
A． B．
C． D．
[解析] 由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝.故选C．
5．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( C )
A． B．
C．1－ D．
[解析] 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故答案为1－．
6．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] “X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝＝＝，故选D．
二、填空题
7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是__0.6__．
[解析] 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．
8．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为____．
[解析] 当有0个红球时，P(X＝0)＝＝0.1；当有1个红球时，P(X＝1)＝＝0.6；当有2个红球时，P(X＝2)＝＝0.3．
9．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P(≤ξ≤)＝____．
[解析] 设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．
∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P(≤ξ≤)＝P(ξ＝1)＝．
三、解答题
10．某学院为了调查本校学生2019年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．
(2)随机变量Y的所有可能取值为0、1、2．
P(Y＝0)＝＝；P(Y＝1)＝＝；
P(Y＝2)＝＝．
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
B级 素养提升
一、选择题
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( B )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析] 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8．
∵次品率不超过40%，∴x＝2，
∴次品率为＝20%．
2．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是( D )
A．0，，0,0， B．0.1,0.2,0.3,0.4
C．p,1－p(0≤p≤1) D．，，…，
[解析] 根据离散型随机变量的概率分布列中，概率和为1．
对于A,0＋＋0＋0＋＝1，满足题意；
对于B,0.1＋0.2＋0.3＋0.4＝1，满足题意；
对于C，p＋(1－p)＝1，满足题意；
对于D，＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝≠1，不满足题意．故选D．
二、填空题
3．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1、2、3、4、5，令Y＝2X－2，则P(Y>0)＝____．
[解析] 由已知Y取值为0、2、4、6、8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝．
4．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝____．
[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)
＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝．
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝．
三、解答题
5．某校2018～2019学年高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．
(1)请列出X的分布列；
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
[解析] (1)依题意得，随机变量X服从超几何分布，
∵随机变量X表示其中男生的人数，
∴X可能取的值为0,1,2,3,4．
∴P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3,4．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
(2)由分布列可知选出的4人中至少有3名男生的概率为：
即P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(x＝4)＝＋＝．
6．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频率分布直方图及相应的消耗能量数据表如下：
健步走步数/千步
16
17
18
19
消耗能量/卡路里
400
440
480
520
(1)求小王这8天“健步走”步数的平均数；
(2)从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．
[解析] (1)小王这8天“健步走”步数的平均数为＝17.25(千步)．
(2)X的各种取值可能为800,840,880,920．
P(X＝800)＝＝，
P(X＝840)＝＝，
P(X＝880)＝＝，
P(X＝920)＝＝．
所以X的分布列为
X
800
840
880
920
P
课件61张PPT。第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列自主预习学案
表格法 解析法 图象法 0 1 两点分布 成功概率 超几何分布列 超几何分布 C D D 4．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是______．5．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．互动探究学案命题方向1 ?离散型随机变量的分布列 (2019·山东日照实验中学月考)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．典例 1『规律总结』 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．
〔跟踪练习1〕
从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．
[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．
当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4．
所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．命题方向2 ?离散型随机变量的分布列的性质及应用典例 2[思路分析] 已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率．
C 命题方向3 ?两点分布的应用典例 3[思路分析] 两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．『规律总结』 两点分布的两个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．命题方向4 ?超几何分布 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张；
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得奖品总价值为Y元，求Y的分布列．典例 4『规律总结』 求超几何分布的分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)用表格的形式列出分布列．
〔跟踪练习4〕
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．离散型随机变量的分布列的求法 求离散型随机变量的分布列，明确离散型随机变量所取的每个值表示的意义是关键，其一般步骤是：
(1)明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出离散型随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出其分布列． 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机抽取3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
[思路分析] 随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.“X＝3”对应事件“取出的3个球，编号为1,2,3”，“X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”，“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”，“X＝6”对应事件“取出3个球中恰好取到6号球和1,2,3,4,5号球中的2个”．而要求其概率，则要用古典概型的概率公式和排列、组合知识求解，从而获得X的分布列．典例 5
〔跟踪练习5〕
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．离散型随机变量的性质 典例 6D B 3．设随机变量ξ的可能取值为5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝______，P(6<ξ≤14)＝______．课 时 作 业 学 案
