第二章 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件．所求概率为．
2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵A∩B＝{2,5}，∴n(AB)＝2.又∵n(B)＝5，∴P(A|B)＝＝．
4．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝{x|0A． B．
C． D．
[解析] P(A)＝＝.因为A∩B＝{x|5．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( C )
A．75% B．96%
C．72% D．78.125%
[解析] 记“任选一件产品是合格品”为事件A，
则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%．
记“任选一件产品是一级品”为事件B．由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%；
故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%．
6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( A )
A．0.75 B．0.60
C．0.48 D．0.20
[解析] 记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(A∩B)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P＝＝＝0.75．
二、填空题
7．(2018·淄博二模)从标有1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为____．
[解析] 在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，
∴在第一次抽到偶数的条件下，
第二次抽到奇数的概率为．
故答案为．
8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为____．
[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝．
9．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于____．
[解析] ∵P(B|A)＝，
∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
∴P(B)＝＝＝．
三、解答题
10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
[解析] 令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2．
解法一：n(A1)＝CC，n(A1A2)＝CC，
故P(A2|A1)＝＝＝．
解法二：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·深圳一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )
A．0.05 B．0.0075
C． D．
[解析] 设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，
事件B为雌性个体成功溯流产卵繁殖，
由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，
∴P(B|A)＝＝＝．
故选C．
2．(2019·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，
其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，
∴所求概率为÷＝，
故选B．
二、填空题
3．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为____．
[解析] 解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为．
解法二：设A＝“取出的数不大于50”，B＝“取出的数是2或3的倍数”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝．
4．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为____．
[解析] 解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P＝．
解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝．
三、解答题
5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
[解析] 设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝．
(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．
因此，P(A|B)＝．
解法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝．
6．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实根”为事件C，则Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，
A＝{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…，6}
B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}
C＝{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…，6}
∴Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．
又∵B、C是互斥事件，
故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝＋＝．
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，则
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
故X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件E，由上面分析得
P(D)＝，P(DE)＝，
∴P(E|D)＝＝．
课件49张PPT。第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率自主预习学案
1．条件概率
一般地，设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝____________为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作__________________________．
如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，显然知道了A的发生，研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是____________要研究的问题．A发生的条件下B发生的概率 条件概率 2．条件概率的性质
性质1：0≤P(B|A)≤1；
性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．B 4．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则
(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为多少？
(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为多少？
(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为多少？互动探究学案命题方向1 ?利用条件概率公式求条件概率 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
[思路分析] 通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率．典例 1
A 命题方向2 ?有关几何概型的条件概率 一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)．典例 2『规律总结』 本题是面积型的几何概型，和小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．〔跟踪练习2〕
如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝______；
(2)P(B|A)＝______．命题方向3 ?缩小基本事件范围求概率典例 30.875 [思路分析] 所求概率样本空间包含的基本事件个数是40而不是100．
〔跟踪练习3〕
集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．命题方向4 ?条件概率的性质 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
[思路分析] 本题考查条件概率，先设出基本事件，求相应事件的概率，再将试验成功分解成两个互斥事件的和．典例 4『规律总结』 若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率加法公式求得所求的复杂事件的概率．
〔跟踪练习4〕
抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．条件概率公式的推广的应用 典例 5
因把基本事件空间找错而致错 一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？典例 6[点评] 1.条件概率易出错点之一就是把基本事件空间找错了．
2．弄不清一个事件对另一事件的影响致错．B D A C 5．6名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是______．课 时 作 业 学 案
