第二章 2.2 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
2．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估计做对第二道题的概率是( B )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
[解析] 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得：P(A2)＝＝0.75．
3．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
[解析] P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．
4．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射一次，那么等于( D )
A．甲、乙都击中靶心的概率
B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率
D．甲、乙不全击中靶心的概率
[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，
则P(A)＝×＝，甲、乙不全击中靶心的概率为P()＝1－P(A)＝．
5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝．
6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：××＋××＋××＝.故选C．
二、填空题
7．在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为____．
[解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为、、．
∴所求概率P＝××＝．
8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，能配成A型螺栓的概率为____．
[解析] 从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝．
9．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．
[解析] 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46．
三、解答题
10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
[解析] (1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
即
由①、③得P(B)＝1－P(C)，代入②得
27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0．
解得P(C)＝或 (舍去)．
将P(C)＝分别代入③、②可得P(A)＝、
P(B)＝，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、、．
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则
P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
B级 素养提升
一、选择题
1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝．
2．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )
A．P1＋P2 B．P1P2
C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析] 甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故选D．
二、填空题
3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为____ ．
[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．
设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是____．
[解析] 由条件知，
，
∴P(ξ＝x2)＝，
∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－≤d≤．
三、解答题
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
[解析] 记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，
P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，
P(A4)＝0.2．
(1)解法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976．
解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976．
(2)解法一：P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)·P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576．
解法二：P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576．
6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝．
(2)解法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P( )＝P()·P()＝×＝．
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P( )＝1－＝．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
课件60张PPT。第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.2 事件的独立性自主预习学案
相互独立事件
1．概念
(1)设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即_____________________，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做________________．
(2)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受____________________的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．P(B|A)＝P(B) 相互独立事件 其他事件是否发生 B P(A) P(A)×P(B) 每个事件发生的概率积 1．(2019·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是 ( )
A．0.42 B．0.49
C．0.7 D．0.91A B
4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_________．
[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．0.128 互动探究学案命题方向1 ?事件独立性的判断 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．典例 1『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．
〔跟踪练习1〕
一个家庭中有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，设A＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}. 对下列两种情况讨论事件A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．命题方向2 ?求相互独立事件的概率 (2019·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．典例 2命题方向3 ?相互独立事件的综合应用 (2019·西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．典例 3
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．正难则反的思想的应用 正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛，尤其是解概率问题的综合题中，出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题，如果从正面考虑，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁杂，而且容易出错，但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单，其概率很容易求出，此时可逆向分析问题，先求出其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率． 三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率．
[思路分析] 乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其公式计算概率．典例 4
[解析] 设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：
第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6，
第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5，
第三局中乙胜甲(A3)，其概率为1－0.4＝0.6，
第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，
因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．
『规律总结』 (1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．〔跟踪练习4〕
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析] 如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是因混淆独立事件和互斥事件而致错 典例 5
1．下列事件A，B是相互独立事件的是 ( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”
A
[解析] 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A．2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率 ( )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
[解析] P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．C C 4．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为______．课 时 作 业 学 案
