第二章 2.2 2.2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( C )
A．0.93×0.1 B．0.93
C．C×0.93×0.1 D．1－0.13
[解析] 由独立重复试验公式可知选C．
2．(2019·临泉县校级期末)已知随机变量ξ服从二项分布，且np＝2.4，npq＝1.44，(p＋q＝1)，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
[解析] ∵ξ服从二项分布B～(n，p)
由2.4＝np,1.44＝np(1－p)，
可得1－p＝＝0.6，
∴p＝0.4，n＝＝6．
故选B．
3．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是( D )
A． B．
C． D．C·0.55
[解析] 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为C0.53(1－0.5)5－3＝C0.55．
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( B )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
[解析] 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C()2×()3＝C()5．
5．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一主先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( A )
A． B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
[解析] 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C()2×(1－)×＝3×××＝．
6．随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，且np＝300，npq＝200，(p＋q＝1)，则等于( B )
A．3200 B．2700
C．1350 D．1200
[解析] 由题意可得，解得，
∴＝2700．
故选B．
二、填空题
7．(2019·全国Ⅰ卷理，15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是__0.18__．
[解析] 甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6．
∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18．
8．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为__0.6323__；恰好发生一起车祸的概率为__0.3681__.(已知0.9991000≈0.36770,0.999999≈0.36806，精确到0.0001)
[解析] 设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1000，0.001)
记事件A：“公路上发生车祸”，
则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991000≈1－0.36770＝0.6323．
恰好发生一次车祸的概率为
P(X＝1)＝C×0.001×0.999999≈0.36806≈0.3681．
9．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝____．
[解析] X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．
则P(X＝5)＝C()2×()2×＝．
三、解答题
10．(2019·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．
(1)若从这40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
[解析] (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为(0.01＋0.05)×5×40＝12，
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，
设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B(5,0.3)，
故所求概率为P(Y＝2)＝C×0.32×0.73＝0.3087．
B级 素养提升
一、选择题
1．如果x～B(20，)，y～B(20，)，当x，y变化时，下面关于P(x＝m)＝P(y＝n)成立的(m，n)的个数为( C )
A．10 B．20
C．21 D．0
[解析] ∵x～B(20，)，y～B(20，)，
∴x，y可以想象成两个对立事件．
比如认为x是抛20次骰子，点数小于3的次数；y是抛20次骰子，点数不小于3的次数．
∵x，y表示了同一个事件．
∴x＝m和y＝20－m的概率是一样的，即P(X＝m)＝P(Y＝20－m)，
而m总共有0,1,2，…，20，共21个数．
∴关于P(x＝m)＝P(y＝n)成立的(m，n)的个数为21．
故选C．
2．(2019·金州区校级期末)若ξ～B(n，p)，且np＝3，npq＝，(p＋q＝1)，则P(ξ＝1)的值为 ( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵，解得n＝6，p＝，
∴P(ξ＝1)＝C××()5＝．
故选C．
二、填空题
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为____．
[解析] 由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝＝Cp0·(1－p)2，∴p＝，
∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
＝1－Cp0(1－p)4－Cp(1－p)3
＝1－－＝．
4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____．
[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为p，则由条件得p(ξ＝2)＝1－＝，∴C·p2＝，∴p＝．
三、解答题
5．(2019·乌鲁木齐高二检测)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
∵P(X＝0)＝C×()4＝，
P(X＝1)＝C××()3＝，
P(X＝2)＝C×()2×()2＝，
P(X＝3)＝C×()3×＝，
P(X＝4)＝C×()4×()0＝．
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
6．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析] (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝．
(2)由题意知：X＝0,1,2,3．
∵P(X＝0)＝C·()3＝，
P(X＝1)＝C·()1·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·()1＝，
P(X＝3)＝C·()3＝．
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
课件50张PPT。第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.3 独立重复试验与二项分布自主预习学案
1．n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下___________________，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝_______________________________________．重复地做n次试验 X～B(n，p) B 互动探究学案命题方向1 ?独立重复试验概率的求法 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路分析] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．典例 1『规律总结』 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．命题方向2 ?二项分布典例 2[思路分析] (1)设出事件，利用独立事件求概率；(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可．
①③ 命题方向3 ?二项分布的应用典例 3『规律总结』 1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．二项分布中的概率最值问题 某一批产品的合格率为95%，那么在取出其中的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
[思路分析] 设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ服从二项分布，比较P(ξ＝k－1)与P(ξ＝k)的大小得出结论．典例 4
求独立重复试验的概率 在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
(1)至少有2天预报准确的概率是多少？
(2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
[错解] (1)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，
所以至少2天预报准确的概率为0.64．
(2)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，
所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.64．典例 5
[辨析] 错误原因：对“至少有2天预报准确”“至少有一个连续2天”理解有误，对题意分析不够透彻．
防范措施：准确把握“恰有”“至少有”“至多有”等含义，根据题意确定事件发生的次数和事件发生的概率，再结合题中条件求解．
[正解] (1)至少有2天预报准确的概率为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C×0.82×0.2＋C×0.83＝0.896，
所以至少有2天预报准确的概率为0.896．
(2)至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为 0.768．
[点评] 审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析．弄清条件与结论，发掘一切可用信息．1．下列随机变量X不服从二项分布的是 ( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数B 2．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则 ( )
A．p1＋p2＋…＋pn＝1
B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0
D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1B C 0.0081 5．一个布袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中每次取一个球，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，试求ξ＝12的概率．课 时 作 业 学 案
