第二章 2.3 2.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( B )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
[解析] 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0．
2．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( B )
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2600元
[解析] 出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是( C )
A．n B．(n－1)
C． D．(n＋1)
[解析] 设抽到的次品数为X，∵共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝．
4．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为( A )
X
1
2
3
4
P
m
n
A． B．
C． D．
[解析] 由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，所以1×＋2m＋3n＋4×＝．
又因为＋m＋n＋＝1，联立上面两式，解得m＝．
5．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( A )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
[解析] X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8．
6．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是( A )
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析] 由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0．
二、填空题
7．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)＝8.9，则y的值为__0.4__．
[解析] ∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得．
8．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是__8.5__．
[解析] 从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴E(X)＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5．
9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝____．
[解析] ∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝．
三、解答题
10．(2019·衡水中学高二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：
环数
击中频率
选手
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3
乙
0.2
0.2
0.35
请你根据上述信息，解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？
[解析] (1)记甲运动员击中n环为事件An；乙运动员击中n环为事件Bn(n＝1,2,3，…，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与事件B9∪B10独立．
∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，
P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55．
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575．
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，由题意知X、Y的可能取值为：7、8、9、10．
甲运动员射击环数X的概率分布列为：
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
甲运动员射击环数X的均值
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8．
乙运动员射击环数Y的概率分布列为：
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
乙运动员射击环数Y的均值
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7．
∵E(X)>E(Y)，
∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－<0，即>0，∴a与b同号．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( A )
A．3 B．4
C．5 D．2
[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，
∴x＝3．
二、填空题
3．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝____．
[解析] 由条件知
∴∴，∴a＋b＝．
4．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为____.
ξ
1
2
3
4
P
m
n
[解析] η＝4ξ－2?E(η)＝4E(ξ)－2?7＝4·E(ξ)－2?E(ξ)＝?＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝．
三、解答题
5．(2018·南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
[解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.025．
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．
从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150,200,250,300．
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝，
∴X的分布列为：
X
150
200
250
300
P
E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210．
6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
(1)求乙投球的命中率p；
(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，所以乙投球的命中率为．
(2)由题设和(1)知P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝．
ξ可能的取值为0、1、2、3，故
P(ξ＝0)＝P()P(·)＝×()2＝，
P(ξ＝1)＝P(A)P(·)＋CP(B)P()·P()
＝×()2＋2×××＝，
P(ξ＝3)＝P(A)P(B·B)＝×()2＝，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝．
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
课件62张PPT。第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值自主预习学案
1．离散型随机变量的均值及其性质
(1)离散型随机变量的均值或数学期望：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
①数学期望E(X)＝_____________________________．
②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的____________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 平均水平
(2)均值的性质：
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量；
②E(aX＋b)＝______________．
aE(X)＋b
2．两点分布、二项分布的均值
(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝_____．
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝______．p np A A [解析] 节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元．应选A．
3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．
4．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．互动探究学案命题方向1 ?求离散型随机变量的均值 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．
[思路分析] 先确定好抽取次数X的可能取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及均值．典例 1『规律总结』 求离散型随机变量的均值的步骤
(1)根据X的实际意义，写出X的全部取值；
(2)求出X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)利用定义求出均值．〔跟踪练习1〕
盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．命题方向2 ?离散型随机变量的均值的性质典例 2『规律总结』 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．2 命题方向3 ?两点分布、二项分布的均值 某运动员的投篮命中率为p＝0.6．
(1)求投篮一次时命中次数X的均值；
(2)求重复投篮5次时，命中次数Y的均值．
[思路分析] 第(1)问中X只有0,1两个结果，服从两点分布；第(2)问中Y服从二项分布．典例 3『规律总结』 1.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．
2．若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．命题方向4 ?离散型随机变量均值的实际应用典例 4『规律总结』 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．〔跟踪练习4〕
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x．
由E(ξ)≥4.73，
得4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．几种常用的解题方法 (1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．典例 5『规律总结』 破解此类题的关键是认真读懂题意，适当把实际应用问题转化为熟悉的数学模型，如独立事件模型、古典概型模型、二项分布模型、超几何分布模型等，问题的解决就水到渠成．因审题不清而致错 典例 6『纠错心得』 1.甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2题，答错1题，第4题答对．只有前3次答题事件满足独立重复试验，同理答5题进入决赛指的是前4题答对2题，答错2题，第5题答对．只前4次答题事件满足独立重复试验，不是全部满足独立重复试验．
2．甲答4题结束比赛，指答对前3题中的2题，第4题答对进入决赛，或前3题中有2题答错，第4题答错．甲答5题结束比赛，指答对前4题中的2题．1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝ ( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
[解析] 由题意知，X取值为0,1,2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75．B C 3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为______．2 [解析] 设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2．5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．课 时 作 业 学 案
