第二章 2.3 2.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( C )
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10 D．2－8
[解析] E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，
∴p＝，n＝12，
则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10．
2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是( D )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
[解析] 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( B )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
[解析] ∵D(x甲)>D(x乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
4．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝，则X的方差D(X)＝( D )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
[解析] 显然X服从两点分布，∴D(X)＝m(1－m)．
5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于( A )
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
[解析] 由分布列中，概率和为1，则a＋＝1，a＝．
∵E(ξ)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n．
∴D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．
∴n＝2时，D(ξ)取最小值．
6．(2018·浙江卷，7)设0
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时，( D )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
[解析] 由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋＝－2＋，
∴ D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．
故选D．
二、填空题
7．设d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝__30d2__．
[解析] E(ξ)＝x10，
D(ξ)＝(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2．
8．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为__48__．
[解析] 设小王选对个数为X，得分η＝5X，则X～B(12,0.8)，D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92
D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48．
9．(2018·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B(n，)，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝____．
[解析] ∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，且P(ξ＝1)＝，∴C·()n－1·(1－)＝，
即n·()n＝，解得n＝6，
∴方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝．
三、解答题
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数
5
6
7
8
9
10
次数
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如下表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析] (1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4．
设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21．
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84．
因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅲ理，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( B )
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6．
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6．
故选B．
2．(2018·杭州二模)已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
－a
a
当 a 增大时，( A )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
[解析] 0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：
E(ξ)＝a－，∴当 a 增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝(－1－a＋)2×＋(0－a＋)2×(－a)＋(1－a＋)2×a＝－a2＋ a＋a＋＝－(a－)2＋，
∵0故选A．
二、填空题
3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
已知E(ξ)＝6.3，随机变量η～B(a，b)，则D(η)＝__1.68__．
[解析] 由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，
∵E(ξ)＝4×0.5＋0.1×a＋9×0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，
∵η～B(a，b)，即η～B(7,0.4)，
∴D(η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68．
4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__10.5、10.5__．
[解析] 由题意得＝10.5，∴a＋b＝21，
＝＝10，
∴s2＝[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]
＝[82＋72＋72＋32＋(10－a)2＋(10－b)2＋22＋3.72＋8.32＋102]
＝[(10－a)2＋(10－21＋a)2＋…]
＝[2(a－10.5)2＋…]
当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5．
三、解答题
5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，
则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝．
(2)X所有的可能取值为0、1、2、3．
P(X＝0)＝C·()0·()2·＝；
P(X＝1)＝C·()1·()1·＋C()0·()2·＝；
P(X＝2)＝C·()2·()0·＋C()1·()1·＝；
P(X＝3)＝C·()2·()0·＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
6．现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．
(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；
(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；
(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．
[解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250．
其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，
∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．
(2)由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(3)由已知得Y～B(3，)，
∴E(Y)＝np＝3×＝，
∴含有一级运动员人数Y的期望为．
课件57张PPT。第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.2 离散型随机变量的方差自主预习学案A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
B机床
试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？(xi－E(X))2 平均偏离程度 标准差
2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的____________的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的________相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于________的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度________．
数学期望 概率 均值 越小 4．方差的性质
若a、b为常数，则D(aX＋b)＝___________．
设离散型随机变量X的分布列为a2D(X) a2D(X) 5．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝_____________．
设随机变量X～B(1，p)，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E(X)＝p，于是D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)(p＋1－p)＝p(1－p)．
6．若X～B(n，p)，则D(X)＝______________．p(1－p) np(1－p) 1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是 ( )
A．甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56< D(ξ)，乙稳定．B C A 4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝______．A 互动探究学案命题方向1 ?求离散型随机变量的方差 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
[思路分析] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．
(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．典例 1『规律总结』 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：
2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．B 命题方向2 ?两点分布、二项分布的方差典例 2『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．命题方向3 ?方差的实际应用典例 3[解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3．
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4．
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点
(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．
(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．
2．求分布列时的关注点
要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质简化概率．〔跟踪练习3〕
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)用公式法求离散型随机变量的方差 典例 40.196 〔跟踪练习4〕
在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品．
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；
(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．要准确理解随机变量取值的含义 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．典例 5[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．
其次X＝k的含义是前k－1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门． A C 3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为 ( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1B 课 时 作 业 学 案