第二章 2.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是( A )
A．f(x)＝e－ B．f(x)＝e
C．f(x)＝e－ D．f(x)＝e－
2．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( D )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析] 由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又＝，∴σ2＝1.故选D．
3．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为( C )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
[解析] 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
4．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( D )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析] 由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，
∴P(ξ>120)＝0.1，
∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]
＝×(1－0.2)＝0.4，故选D．
5．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( B )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ D．2Φ(μ＋σ)
[解析] 设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．
6．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为( C )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
[解析] ∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015．
∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
二、填空题
7．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为____．
8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____．
[解析] 由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1000,502)，
则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为，
则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－×＝，
故该部件使用寿命超过1000小时的概率为×＝．
9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中真命题的序号是__①②④__.(写出所有真命题的序号)
[解析] 画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图象关于x＝μ对称；故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确，故填：①②④．
三、解答题
10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)
[解析] 由题意X～N(0,22)
求得P(|X|≤4)＝P(－4≤x≤4)＝0.9544
设Y表示5件产品中合格品个数，
则Y～B(5,0.9544)，
所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)
＝C·(0.9544)4×0.0456＋C·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981．
故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981．
B级 素养提升
一、选择题
1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析] 由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)2．(2018·德阳模拟)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为________(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.)( A )
A．0.13% B．1.3%
C．3% D．3.3%
[解析] 由正态分布N(78,16)，可得μ＝78，σ＝4，
则P(66＜X＜90)＝P(78－3×4＜X＜78＋3×4)＝0.9974．
∴P(X≥90)＝(1－0.9974)＝0.0013．
即估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为0.13%．
故选A．
二、填空题
3．(2018·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2000,10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为__0.1587__.(参考数据：若ξ服从N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974)
[解析] ∵服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率分别为0.6826，
随机变量ξ服从正态分布N(2000,1002)，
∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为×(1－0.6826)＝0.1587，
故答案为0.1587．
4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6826__辆．
(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)
[解析] 由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.6826×10000＝6826．
三、解答题
5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
[解析] 对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5＝＝；
对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝＝．
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
6．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)P(80≤X<85)＝－P(X≤75)＝0.2，
P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－
P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，
所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024．
(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，
所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，
P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，
P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，
所以随机变量ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．
课件44张PPT。第二章随机变量及其分布2．4 正态分布自主预习学案高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？上方 x＝μ ④曲线与x轴之间的面积为_____；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：1 甲 乙 0.6826 0.9544 0.9974 4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．1．(2019·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于 ( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7B 2．(2018·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68) ( )
A．60% B．68%
C．76% D．84%D
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝_______．
[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，
∴曲线关于直线x＝1对称，
∵P(ξ<2)＝0.6，
∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，
故答案为0.1．
0.1 4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______．10
5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？
[解析] 因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．
由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，
所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.1B (2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] (1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．B 命题方向2 ?利用正态分布求概率 已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.6826，则σ＝_____，P(|ξ－2|<4)＝________．典例 22 0.84 『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法
(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解．
(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(XP(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．〔跟踪练习2〕
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝ ( )
A．0.477 B．0.625
C．0.954 D．0.977
(2)(2017·临沂高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于 ( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2aC B
[解析] (1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954．
(2)对称轴x＝2，
∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a．命题方向3 ?正态分布的应用 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．
[解析] 由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.0027.而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．典例 3『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
〔跟踪练习3〕
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90内的学生占多少？假设检验的思想 (1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.9974，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．
某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98, 96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
[思路分析] 由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.6826，在区间(96,104]内的概率为0.9544，在区间(94,106]内的概率为0.9974，所以据此可以判断结论．
[解析] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.9974，而在这个区间外的概率仅为0.0026，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．典例 4『规律总结』 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a?(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．〔跟踪练习4〕
假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．
(1)(400,600]；
(2)(300,700]．
[解析] (1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2400×0.6826≈1638(人)．
(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2400×0.9544≈2291(人)．因对正态曲线的对称性认识不够而致错 已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝_______．
[错因分析] 对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X[正解] 因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，
又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．
所以P(X>0)＝P(X<－4)．
因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．典例 6－2
[点评] 错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．
C 2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内 ( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
[解析] 由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974．
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，
60×0.9974≈60人．故选C．C 3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______．
[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．① ② ③ 4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？课 时 作 业 学 案