北师大版选修1-2第1章 2.1 条件概率与独立事件学案

§2　独立性检验
2.1　条件概率与独立事件
学习目标　1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1　试求P(A)，P(B)，P(AB)．
答案　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3　P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．
答案　P(A|B)＝.
梳理　条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.
知识点二　独立事件
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案　不影响．
思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
答案　P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3　P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
答案　P(AB)＝P(A)·P(B)．
梳理　独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．(　×　)
2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．(　√　)
3．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)
4．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)
类型一　条件概率
例1　甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？
解　设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则：
(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是
P(A|B)＝＝＝.
(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是
P(B|A)＝＝＝0.60.
反思与感悟　条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.特别地，当B?A时，P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
跟踪训练1　某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率是，设下雨为事件A，刮风为事件B.求：
(1)P(A|B)；
(2)P(B|A)．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
解　由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
(1)P(A|B)＝＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
类型二　事件的独立性的判断
例2　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
解　有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练2　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　①②③
解析　根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
类型三　求相互独立事件的概率
例3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
解　用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件.
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋.
跟踪训练3　某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是(　　)
A．0.612B．0.765C．0.329D．0.68
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　C
解析　分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，
则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85，
故P(BC＋AC＋AB)
＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.
1．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)B．P(B|A)＝是可能的
C．0D．P(A|A)＝0
答案　B
解析　∵P(B|A)＝，
而P(A)≤1，∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错；
当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)，
∴P(B|A)＝＝，∴B正确；
而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴C、D错，故选B.
2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A.B.C.D.
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　B
解析　设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，
因为事件相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.
3．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　D
解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．
4．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．
答案　0.8
解析　设甲、乙患感冒分别为事件A，B，则
P＝1－P()＝1－P()P()＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.
5．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求两个相互独立事件同时发生的概率
答案　　
解析　设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立．
所以两人都未解决的概率为P()＝×＝.
问题得到解决的概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P()＝1－＝.
1．条件概率的前提条件是：在知道事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，由古典概型知，其条件概率为P(B|A)＝＝＝，
其中，n(Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为AB同时发生时的结果数．
2．P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是A，B为相互独立事件；当事件A与B相互独立时，事件A与、与B、与也相互独立．
3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．
一、选择题
1．抛掷一颗骰子，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
考点　相互独立事件的定义
题点　相互独立事件的判断
答案　B
解析　A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．
2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A．0.2B．0.33C．0.5D．0.6
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　A
解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，
则P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
3．盒中有5个红球，11个蓝球，红球中有2个玻璃球，3个塑料球，蓝球中有4个玻璃球，7个塑料球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　设“摸到玻璃球”为事件A，“摸到蓝球”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴所求概率P＝＝×＝.
4.如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是(　　)
A．0.504B．0.994C．0.496D．0.06
答案　B
解析　系统可靠即A，B，C3种开关至少有一个能正常工作，
则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)
＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)
A.B.C.D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　独立事件与互斥事件的综合应用
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
6．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为(　　)
A.B.C.D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　D
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P()＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
7．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝P，P()＝1－P，依题意得×(1－P)＋×P＝，
解得P＝，故选C.
8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.B.C.D.
考点　相互独立事件的性质及应用
题点　相互独立事件性质的应用
答案　D
解析　根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P1＝；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P2＝×＝.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝＋×＝.
二、填空题
9．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
考点　相互独立事件同时发生的概率计算
题点　求多个相互独立事件同时发生的概率
答案　
解析　从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
10．某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，则它能用到10000小时的概率为________．
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
11．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
答案　0.09
解析　乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，
∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
三、解答题
12．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
解　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．
∴P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
即在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为.
13．已知10张奖券中有3张有奖，甲、乙两人从中各抽1张，甲先抽、乙后抽，求：
(1)甲中奖的概率；
(2)乙中奖的概率；
(3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．
解　设“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B.
(1)由题意得P(A)＝.
(2)P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)，
∵P(AB)＝×＝，P(B)＝×＝，
∴P(B)＝＋＝＝.
(3)方法一　P()＝，P(B)＝，
∴P(B|)＝＝＝.
方法二　甲未中奖条件下9张奖券中有3张有奖，
∴P(B|)＝＝.
四、探究与拓展
14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.
考点　条件概率的定义及计算公式
题点　直接利用公式求条件概率
答案　
解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．
∴事件A发生的概率为P(A)＝＝，而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，
∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
15．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：
①若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝；
②若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
③若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
④若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
⑤若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件．
其中正确命题的个数为________．
答案　3
解析　①中，若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝＋＝，故①正确；
②中，若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，
则由相互独立事件乘法公式知，M，N为相互独立事件，故②正确；
③中，若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，M，N为相互独立事件，故③正确；
④中，若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，
当M，N为相互独立事件时，P(MN)＝×＝，
故④错误；
⑤若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，⑤错误．故正确命题的个数为3.