北师大版选修1-2第3章 1.1 归纳推理学案

§1　归纳与类比
1.1　归纳推理
学习目标　1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．
知识点　归纳推理
思考　(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
以上属于什么推理？
答案　属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理　归纳推理的定义及特征
定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理
特征
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的
1．归纳推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)
3．由归纳推理得出的结论一定是正确的．(　×　)
类型一　归纳推理在数与式中的应用
例1　(1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为_______________________________________________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)　(2)f3(x)＝　fn(x)＝
解析　(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.
引申探究　
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．
解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝.
反思与感悟　已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
跟踪训练1　已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；….
根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
解　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为，，，，…，.
归纳得一般性结论：1＋＋＋…＋>(n∈N＋)．
类型二　归纳推理在数列中的应用
例2　已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　当n＝1时，a1＝1，
当n＝2时，a2＝＝，
当n＝3时，a3＝＝，
当n＝4时，a4＝＝，
…，
归纳得数列{an}的通项公式为an＝(n＝1,2,3，…)．
反思与感悟　用归纳推理解决数列问题的方法
在求数列的通项和前n项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．
跟踪训练2　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为(　　)
　
　　
　　　
　　　　
……
A.B.C.D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　B
解析　由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，第11行的第2个数为－＝.
类型三　归纳推理在图形中的应用
例3　如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)是由(1)中的小正方体木块叠放而成的．按照这样的规律摆放下去，第7个图形中，小正方体木块的总个数是________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　91
解析　记第n个图形中木块的总数为an，观察前三个图形中的木块数可知，a1＝1，a2＝1＋(1＋4)＝1＋5＝6，a3＝1＋5＋(5＋4)＝1＋5＋9＝15，按照题中的规律放下去，可知，第7个图形中小木块的总个数为1＋5＋9＋…＋25＝91.
反思与感悟　归纳推理在图形中的应用策略
跟踪训练3　如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律性的为(　　)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一格，由第二组的前两个图，可知整体图形再次向左移动一格，第三个图，左边没有格的情况下，应从最右边出现，故选A.
1．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1111111.
2．已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式an等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
答案　C
解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
则an＝.
3．已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为(　　)
A．xn＋>n B．xn＋>n＋1
C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给的不等式，都是写成xn＋>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋>n＋1，故选B.
4．有一串彩旗，(代表蓝色，(代表黄色．两种彩旗排成一行：(((((((((((((((((((((((((((…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为(　　)
A．111B．89C．133D．67
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗，则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　40
解析　图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，…，
所以图10中的点数为10×4＝40.
1．归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．
2．归纳推理解决问题的思维过程
实验、观察→分析概括→猜测总结
一、选择题
1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(　　)
A．192B．202C．212D．222
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　由题意可知，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A. B．△C. D．○
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋小于(　　)
A.B.C.D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　观察可以发现，第n(n≥1)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，所以当n＝2018时不等式为1＋＋＋…＋<.
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72019的末两位数字为(　　)
A．01B．43C．07D．49
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　由71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，
75＝16807,76＝117649,77＝823543，
可以看出末两位数字呈周期出现，且周期为4，
2019÷4＝504…3.
所以72019的末两位数字为43.
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　C
解析　从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　C
解析　利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
7．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…，
可知推测A－B等于(　　)
A.B.C.D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　D
解析　观察发现各式等号右边第一项的系数为对应项指数的倒数，且各项系数之和为1，故A＝，B＝－，所以A－B＝.
8．如图，已知△ABC的周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2018个三角形的周长为(　　)
A.B.C.D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　D
解析　∵第一个三角形的周长为2，第二个三角形的周长为1，第三个三角形的周长为，……，∴第n个三角形的周长为22－n，∴第2018个三角形的周长为22－2018＝.
二、填空题
9．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：____________________________________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　已知a，b是正实数且a≠b，若a＋b＝20，则＋<2
10．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
…；
照此规律，第n个等式为________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
解析　12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
11．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　30
解析　观察题图易得
∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30.
12．n个连续自然数按规律排列如表：根据规律，从2018到2020，箭头的方向依次为________．(填序号)
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　③
解析　箭头方向呈周期变化，且周期为4,2018÷4＝504…2，故填③.
三、解答题
13．已知正项数列{an}满足Sn＝，求出a1，a2，a3，并推测通项an.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数列中的应用
解　∵Sn＝，∴S1＝，
又∵S1＝a1，∴a1＝，∴a1＝1(负值舍去)．
又∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝－，
∴－an＝an－1＋，∴－a2＝2，
∴a2＝－1±，
又∵an>0，∴a2＝－1.
同理，a3＝－.
∴a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
利用归纳推理，猜测：an＝－，n∈N＋.
四、探究与拓展
14．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)，(2,1)
(1,3)，(2,2)，(3,1)
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
…
记第n行的第m个数对为anm(m，n∈N＋)，如a43＝(3,2)，则：
(1)a54＝________；(2)anm＝________________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)
解析　若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,2)．
15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示的为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
解　(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…，
由上述规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝1＋＝－.