北师大版选修1-2第3章 2 数学证明学案

§2　数学证明
学习目标　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
知识点一　演绎推理的含义
思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
梳理
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二　三段论
思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案　分为三段．
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电．
梳理
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
类型一　演绎推理与三段论
例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1　(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(填序号)
(2)函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为
大前提：________________________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________________________；
结论：________________________________________________________________________.
答案　(1)②
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图像是一条直线
类型二　三段论的应用
例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
反思与感悟　(1)用“三段论”证明命题的格式
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
跟踪训练2　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF平面BCD，BD(平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
例3　设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解　若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提
因为f(x)的定义域为R，小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0即当0引申探究　
若例3的条件不变，求f(x)的单调增区间．
解　∵f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00，
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．
证明　方法一　(定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝＋－－
＝＋－
.
因为x2－x1>0，且a>1，所以
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．
方法二　(导数法)
f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axlna＋.
因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0.
又因为a>1，所以lna>0，ax>0，
所以axlna>0，所以f′(x)>0.
故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增加的.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案　A
解析　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又是对数函数(小前提)，所以是增函数(结论)．”下列说法正确的是(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案　A
解析　y＝logax是增函数错误，故大前提错误．
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是(　　)
A．①B．②C．①②D．③
答案　D
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案　二次函数的图像是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线
5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明　因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根，大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
答案　C
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案　C
解析　由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
答案　C
解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
4．函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增加的(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　y′＝－xsinx．当x∈(π，2π)时，y′>0，
∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)上是增加的．
5．下面几种推理中是演绎推理的是(　　)
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，……的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
答案　A
6．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A．－1C．－答案　C
解析　由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是“当有意义时，a≥0”；小前提“有意义”；结论是“__________________”．
答案　y＝的定义域是[4，＋∞)
解析　由大前提知，log2x－2≥0，解得x≥4.
8．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：－3是整数；
结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)
答案　大前提
9．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________．
答案　一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
解析　大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
10．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是____________________．
答案　不等式两边同乘一个大于0的数，不等号方向不变
11．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为?，则实数a的取值范围为__________．
答案　[0,2]
解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，
则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.
∴当a＝0时，2≥0，显然成立；
当a≠0时，
解得0∴a的取值范围为[0,2]．
12．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案　2014
解析　利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，大前提
令b＝1，则＝f(1)＝2，小前提
∴＝＝…＝＝2，结论
∴原式＝＝2014.
三、解答题
13．已知f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
证明　∵f(x)＝，
∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝.
同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
猜想f(x)＋f(1－x)＝.
设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝
14.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴旋转．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解　(1)如图，取AB的中点E，连接CE，DE.
因为AC＝BC＝，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE(平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知，得DE＝AB＝，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由(1)知，AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，
所以AB⊥平面CDE.又CD(平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
15．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
答案　A
解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2∴f(x2)－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.