北师大版选修1-2第3章 3 综合法与分析法学案

§3　综合法与分析法
学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一　综合法
思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．
梳理　综合法的定义及特点
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．
(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．
(3)模式：综合法可以用以下的框图表示
→→→…→
其中P为条件，Q为结论．
知识点二　分析法
思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理　分析法的定义及特征
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．
(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：
→→→…→
1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)
2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)
类型一　用综合法证明不等式
例1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
反思与感悟　综合法证明问题的步骤：
跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数，
求证：＋＋>3.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　因为＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
又a，b，c为不全相等的正实数，
而＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式等号不能同时成立，
所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
类型二　分析法的应用
例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
反思与感悟　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”．
跟踪训练2　设a>b>0，求证：＋>(－)．
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　因为a>b>0，所以a2>ab>b2，所以a2－ab>0.
要证＋>(－)，
只需证>，
只需证－<＋.
又<＋＋显然成立，
所以＋>(－)成立．
类型三　分析法与综合法的综合应用
例3　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋
(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
引申探究　
本例改为求证>.
证明　要证>，
只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，
即证a＋b>c.
而a＋b>c显然成立，
所以>.
反思与感悟　综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
跟踪训练3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　要证logx＋logx＋logx只需证logx由已知0abc，
由公式≥>0，≥>0，≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．类比法
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　B
解析　在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．
2．要证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案　C
解析　根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2.
3．设0A．a B．b
C．c D．随x取值不同而不同
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　∵02>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，
∴c>b>a.
4．已知f(x)＝(x∈R)是奇函数，那么实数a的值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　1
解析　∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝＋＝0，
∴a＝1.
5．已知a，b，c都为正实数，求证：≥.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
而这是显然成立的，
所以≥成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.

一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　B
解析　分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②?①，所以①是②的必要条件．故选B.
2．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(　　)
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　A
解析　由得
3．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由题意得，f(x)在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f(x)＝符合要求．
4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　D
解析　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－(a2＋b2)＋1≥0，
即证(a2－1)(b2－1)≥0.
5．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是(　　)
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　D
解析　由余弦定理的推论，得cosA＝，
∵A为钝角，∴cosA<0，则b2＋c26．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sinA>sinB的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决三角形问题
答案　C
解析　由正弦定理得＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，
又A，B为三角形的内角，
∴sinA>0，sinB>0，
∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.
7．设a，b>0，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　B
解析　因为a≠b，故>ab，
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)是减少的．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负 B．恒等于零
C．恒为正 D．无法确定正负
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)是减少的，可知f(x)在R上是减少的．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，
所以f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
9．“已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8”的证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________．(填“综合法”或“分析法”)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　综合法
解析　本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
10．如果a＋b>a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b>a＋b.
11．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　a·＝a·≤＝，当且仅当a2＝＋且a2＋＝1，即a＝，b＝时，等号成立．
三、解答题
12．已知n∈N＋，且n≥2，求证：>－.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1.
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，该不等式显然成立，
故原不等式成立．
13．(1)用分析法证明：当a>2时，＋<2；
(2)设a，b是两个不相等的正数，且＋＝1，用综合法证明：a＋b>4.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
只需证2a＋2<4a，
只需证∵a2－4∴＋<2成立．
(2)∵a>0，b>0，且a≠b，
∴a＋b＝(a＋b)
＝1＋1＋＋>2＋2＝4，
∴a＋b>4.
四、探究与拓展
14．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　
解析　当n为偶数时，a<2－，
而2－≥2－＝，所以a<；
当n为奇数时，a>－2－，
而－2－<－2，所以a≥－2.
综上可得，－2≤a<.
15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝.③
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．