北师大版选修1-2第3章 4 反证法学案

§4　反证法
学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识点　反证法
(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．
1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　)
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)
类型一　用反证法证明否定性命题
例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
反思与感悟　(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设，，成等差数列，则2＝＋，
∴4b＝a＋c＋2.①
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②
由②得b＝，代入①式，
得a＋c－2＝(－)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立．故，，不成等差数列．
类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题
例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.
所以≥>1.
同理≥>1，≥>1.
三式相加，得＋＋>3，
即3>3，矛盾．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
引申探究　
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数．
∴≥>＝.
同理，>，>.
三式相加，得＋＋>，
即>，显然不成立．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
(綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
((綈p或綈q
跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得其对应方程的Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，
且Δ3＝4a2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
类型三　用反证法证明唯一性命题
例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则＝3,＝3，两式相除得＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题得证．
反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
跟踪训练3　若函数f(x)在区间[a，b]上是增加的，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增加的，所以f(α)1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
4．下面关于反证法的说法正确的有________．(填序号)
①反证法的应用需要逆向思维；
②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；
④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．
考点　
题点　
答案　①②
解析　反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故①②正确；使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故④错误；反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故③错误．
5．用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则
解得－故原命题成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　D
2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　B
解析　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
4．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个B．1个C．2个D．3个
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．
5．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
6．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　D
解析　对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
7．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　C
解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋
＝＋＋≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
二、填空题
8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设______．
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　x＝a或x＝b
9．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．
甲说：“丙没有考满分”．
乙说：“是我考的”．
丙说：“甲说的是真话”．
若这三名同学中，只有一人说的是假话，则得满分的同学是________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　甲
解析　采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙说的也是假话，与题目矛盾；如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分，符合要求．
10．若下列两个方程x2＋(a－2)x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
解析　若两方程均无实根，
则Δ1＝(a－2)2－4a2＝(3a－2)(－a－2)<0，
∴a<－2或a>.
Δ2＝a2＋8a＝a(a＋8)<0，
∴－8若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－8或a≥－2.
11．将下列用反证法证题的过程补充完整．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为奇数，则________均为奇数．①
因为7个奇数之和为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
显然②与③矛盾，故假设不成立，故(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇数　0
三、解答题
12．已知x∈R，a＝x2－1，b＝4x＋5.求证：a，b中至少有一个不小于0.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设a，b都小于0，即a<0，b<0，则a＋b<0.
又a＋b＝x2－1＋4x＋5＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
这与a＋b<0矛盾，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个不小于0.
13．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点　
题点　
证明　假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
故a，b，c中至少有一个是大于0的．
四、探究与拓展
14．若a，b，c，d都是有理数，，都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　a＝b，c＝d
解析　假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，
于是b＋m＋＝b＋，
所以m＋＝，两边平方整理得＝.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，
因此a＝b，从而c＝d.
15．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导数列{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
(1)解　设数列{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
所以Sn＝，
综上所述，Sn＝
(2)证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
因为a1≠0，
所以2qk＝qk－1＋qk＋1.
因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，
所以q＝1，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．