北师大版选修1-2第4章 1.1-1.2 数的概念的扩展 复数的有关概念(1)学案

§1　数系的扩充与复数的引入
1．1　数的概念的扩展
1．2　复数的有关概念(一)
学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一　复数的概念及复数的表示
思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理　复数及其表示
(1)复数的定义
①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；
②若a∈R，b∈R，则形如a＋bi的数叫作复数．
(2)复数的表示
①复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)；
②对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Rez与Imz表示，即a＝Rez，b＝Imz.
知识点二　复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示
知识点三　两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)
2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)
类型一　复数的概念
例1　(1)给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(1)C　(2)±，5
解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确；
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确；
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确．
∴只有③⑤正确．
(2)由题意知∴a＝±，b＝5.
反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，故②错误．显然③正确．故选B.
类型二　复数的分类
例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)复数z是虚数的充要条件是
解得m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
解得
故m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，求m为何值时，z为实数．
解　由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
解得
故m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案　3或－2
解析　由题意知解得m＝3或－2.
反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2　当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是
(1)纯虚数；(2)实数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则解得m＝4.
故当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数．
(2)若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
则解得m＝－2或m＝－3.
故当m＝－2或－3时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i为实数．
类型三　复数相等
例3　(1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　
解析　由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，
由此得解得m＝.
(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以　即
所以a＝－1.
反思与感悟　(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　)
A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1B．2C．1D．－1或2
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　D
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为(　　)
A．3B．4C．5D．6
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_________．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由题意知得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　B
解析　因为a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.
而当复数a＋bi是纯虚数，则a＝0一定成立．
所以a，b∈R，a＝0是复数a＋bi是纯虚数的必要不充分条件．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
考点　复数的概念
题点　求复数的实部和虚部
答案　A
解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A.B．2C．0D．1
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝1.
4．下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确命题的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错，故选A.
5．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　B
解析　由题意，得
解得k∈Z，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A．7B．－C．－7D．－7或－
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　C
解析　∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cosθ－＝0，sinθ－≠0，
∴sinθ＝－，∴tanθ＝－，
则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由得m＝－2.
9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　充分不必要
解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　0或1
解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，解得m＝0或1.
11．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析　若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
12．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N＋，则m＋n＝________.
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
答案　1或2
解析　由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由log(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由log(m＋n)≥－1，得0∴－3∴或
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点　复数的分类
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使z是实数，m需满足解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足解得m＝0或m＝－2.
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得解得
15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足(M∩N)?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.