北师大版选修1-2第4章 1.2 复数的有关概念(2)学案

1.2　复数的有关概念(二)
学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
知识点一　复平面
思考　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．
梳理　当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二　复数的几何意义
知识点三　复数的模或绝对值
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.
两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　×　)
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
类型一　复数的几何意义
例1　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
类型二　复数的模
例2　已知复数z1＝－i，z2＝cosθ＋isinθ.
(1)求|z1|及|z2|，并比较它们的大小；
(2)设z∈C，点Z为z在复平面内所对应的点，则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z构成了什么图形？
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　(1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1.
因为2>1，所以|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．
反思与感悟　利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
跟踪训练2　已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，).
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z的对应点的轨迹是(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　A
解析　由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．
3．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1或a>1 B．－1C．a>1 D．a>0
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求参数
答案　B
解析　因为|z1|＝，|z2|＝＝，
所以<，即a2＋4<5，
所以a2<1，即－14．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　3
解析　复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.
5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由得
所以－7(2)由得
所以m＝4.

1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3的对应点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵<3<π，∴sin3>0，cos3<0，
故复数z＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．
2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　A
解析　由题意得解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(2,5) B．(2,3)
C．(2，) D．(2，)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　C
解析　由题知z＝a－2i，所以|z|＝，
又a∈(0,1)，所以|z|∈(2，)．
5．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0或a＝2 D．a＝0
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
6．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝－1(舍正)，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　D
解析　设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得
∴或
二、填空题
8．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________________．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　(x－2)2＋y2＝8
解析　由模的计算公式得＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
10．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，
即故
所以|x＋yi|＝＝.
11．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，
因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝＝
＝＝.
因为－1三、解答题
12．求实数m的值，使复数z＝m(m－1)＋(m－1)i对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　(1)由复数z对应的点位于实轴上，可得m－1＝0，
解得m＝1，即当m＝1时，复数z对应的点位于实轴上．
(2)由复数z对应的点位于第一象限，可得
解得m>1，即当m>1时，复数z对应的点位于第一象限．
(3)由复数z对应的点位于第四象限，可得
解得m<0，即当m<0时，复数z对应的点位于第四象限．
13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－＋i，－－i，并求出它们的模．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
解　如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－＋i，－－i，与之对应的向量可用，，来表示．
|1|＝1，
＝＝，
＝＝1.
四、探究与拓展
14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　二
解析　因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
所以所以
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
15．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　方法一　|z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.