北师大版选修1-2第4章 2.2 复数的乘法与除法学案

2.2　复数的乘法与除法
学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点一　复数的乘法及其运算律
思考　怎样进行复数的乘法运算？
答案　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理　(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二　共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即当z＝a＋bi时，＝a－bi.
知识点三　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(　√　)
2．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)
类型一　复数代数形式的乘法运算
例1　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.
(2)已知复数z1＝(1＋i)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
答案　(1)－3　(2)4＋2i
解析　(1)由(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
(2)z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
引申探究
1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a＋i)表示的点在第二象限，则a的取值范围是____________．
答案　
解析　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，
由题意知解得－2．将本例(2)中“z1·z2是实数”改为“z1·z2是纯虚数”，
求z2.
解　由例1(2)知，z1·z2＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1·z2是纯虚数，∴
解得a＝－1，∴z2＝－1＋2i.
反思与感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
答案　2
解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i，
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
类型二　复数代数形式的除法运算
例2　(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A．MB．NC．PD．Q
答案　D
解析　由题图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
(2)计算：①－；
②＋－.
解　①方法一　－
＝
＝＝＝2i.
方法二　－
＝－
＝i＋i＝2i.
②原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
反思与感悟　(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
①＝－i；②＝i；③＝－i.
跟踪训练2　(1)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则log2(a－b)的值是(　　)
A．1B.C．2D．3
(2)已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i，则|z|＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)＝
＝－i＝a＋bi，
∴
log2(a－b)＝log22＝1.
(2)(1＋i)z＝1＋i，
z＝＝＝，
∴|z|＝＝＝.
类型三　共轭复数
例3　(1)复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案　5＋i
解析　∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，
＝3＋＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
(2)已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z－3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
反思与感悟　当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．
跟踪训练3　(1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则的共轭复数为________．
答案　i
解析　由m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，
所以＝＝＝＝－i.
所以它的共轭复数为i.
(2)已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于(　　)
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
答案　B
解析　∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是(　　)
A．iB．i2C．i3D．i4
答案　B
解析　z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴　即
得m＝－1.∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________.
答案　－1＋2i
解析　∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
＝＝＝－1＋2i.
4．计算：(1)(4i－6)；
(2).
解　(1)(4i－6)
＝·4i＋·(－6)＋i·4i＋i·(－6)
＝2i－3－6－9i＝－9－7i.
(2)
＝
＝
＝－i(1＋2i)＝2－i.
5．已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
一、选择题
1．复数－i＋等于(　　)
A．－2iB.iC．0D．2i
答案　A
解析　－i＋＝－i＋＝－2i，故选A.
2．设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3B．3C．－3iD．3i
答案　A
解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋(i)2＋2i－2－2i＝－3.
3．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b等于(　　)
A．6B．－6C．0D.
答案　A
解析　∵＝＝
＝是实数，
∴6－b＝0，∴b＝6，故选A.
4．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)
A．－2B．－2iC．2D．2i
答案　C
解析　∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，
∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
5．已知复数z满足＝i，且z的实部与虚部之和为0，则实数m等于(　　)
A．－3B．－1C．1D．3
答案　B
解析　由＝i，
得z＝＝
＝＝－i.
又z的实部与虚部之和为0，
则－＝0，解得m＝－1.
6．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z等于(　　)
A．2B．－2C．2iD．－2i
答案　A
解析　＋z＝＋1－i＝＋1－i＝1＋i＋1－i＝2.故选A.
7．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
8．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴2z＋＝2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，
整理得3a＋bi＝3－2i，
∴解得∴z＝1－2i，故选B.
二、填空题
9．复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．
答案　4
解析　＝＝
＝－i.
∵复数是纯虚数，
∴解得a＝4.
10．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案　1
解析　＝2－ai＝b＋i，
即　得　∴a＋b＝1.
11．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，|z|＝________.
答案　1
解析　因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.
则|z|＝1.
三、解答题
12．已知复数z＝.
(1)求z的共轭复数；
(2)若az＋b＝1－i，求实数a与b的值．
解　(1)∵z＝＝＝1＋i，
∴＝1－i.
(2)a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋ai＝1－i，
∴　解得a＝－1，b＝2.
13．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解　(1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，∴5a－1＝0且a＋5≠0，
解得a＝.
四、探究与拓展
14．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案　二
解析　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
15．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解　因为z是复数，z＋2i与均为实数，
所以可设z＝x－2i.
由＝＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
又复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以　所以
即2所以实数a的取值范围为(2,4)．